函数极限的性质

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1、§3.2函数极限的性质§2函数极限的性质Ⅰ.教学目的与要求1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.Ⅱ.教学重点与难点:重点:函数极限的性质.难点:函数极限的性质的证明及其应用.Ⅲ.讲授内容在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：1)；2)；3)4)；5)；。它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质．至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可.定

2、理3．2(唯一性)若极限存在，则此极限是唯一的．证设都是当时的极限，则对任给的，分别存在正数与，使得当时有，当时有，取，则当时，(1)式与(2)式同时成立，故有由的任意性得，这就证明了极限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若存在，则在的某空心邻域内有界．证设．取，则存在使得对一切有这就证明了在内有界．4§3.2函数极限的性质定理3．4(局部保号性)若(或)，则对任何正数（或，存在，使得对一切有（或）证设，对任何，取，则存在，使得对一切，这就证得结论．对于的情形可类似地证明．注在以后应用局部保号性时，常取．定理3．5(保不等式性)

3、设与都都存在，且在某邻域内有则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）证设=，=，则对任给的，分别存在正数与使得当时有，当时有令，则当时，不等式与(4)、(5)两式同时成立，于是有　　　从而．由的任意性推出，即(3)式成立．定理3．6(迫敛性)设==Ａ，且在某内有　　　　则．证按假设，对任给的，分别存在正数与，使得当时有，4§3.2函数极限的性质(7)当时有　　　　　　　　　　　　　　(8)令，则当时，不等式(6)、(7)、(8)同时成立，故有　　　　　　由此得，所以定理3．7（四则运算法则）若极限与都存在，则函数当时

4、极限也存在，且；2）．；又若，则当时极限存在，且有3）．这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习．利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限．例1求解当时有　　　　　　　　　　　，而故由迫敛性得：=另一方面，当有，故又由迫敛性又可得：综上，我们求得4§3.2函数极限的性质例2求解由及§1例4所得的，　　，并按四则运算法则有==例3求．解　当时有故所求的极限等于例4证明证任给(不妨设)，为使（9）即，利用对数函数（当时）的严格增性，只要于是，令，则当时，就有(9)式成

5、立，从而证得结论．Ⅳ小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.Ⅴ课外作业:2、3、5、7、8、9.4