格林(Green)公式及其应用

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1、一、格林（Green)公式及其应用4.平面上曲线积分与路径无关的等价条件Dyxo4.平面上曲线积分与路径无关的等价条件BA如果在区域D内,则称曲线积分否则与路径有关.在D内与路径无关,有积分与路径无关时,曲线积分可记为说明:定理2设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线C,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即存在可微函数使证明GyxoBAC即故积分与路径无关.有采用循环方式：得(封闭曲线)设取起点为定点与路径无关,

2、只与起终点有关.终点为动点只须证与路径无关由积分中值定理偏增量定积分同理可证：因可微，的偏导数存在，因连续，偏导数连续，从而相等，于是有故的二阶混合由格林公式，对任何闭曲线C，它所围成的区域为D,有证毕.由定理2知：曲线积分与路径无关，可以取路径为平行于坐标轴的折线，即注1：解原积分与路径无关由定理2知：由于积分与路径无关，可以取路径为平行于坐标轴的折线,这样就可求出u(x,y).称全微分方程全微分注2：例7验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证设由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。是全微分方程的通解.注解因积分与路径无关故又，知故由小结四个等价命题

3、设D是平面单连通区域,在D内具有一阶连续偏导数,则以下四个命题等价：在D内与路径无关.1.对D内任意闭曲线L有4.在D内有3.在D内有若在某单连域内,函数P,Q偏导连续,则且等价命题的应用(1)利用等价命题简化第二类曲线积分的计算可选择方便的积分路径(2)可用积分法求在D内的原函数:因积分与路径无关，故可选择方便的积分路径.比如，平行于坐标轴的折线.设思考题解于是PQ作业p.153习题10-34.(2);5.(1);(3);6.(2);7.