格林公式及其应用(V)

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1、一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积§6.4.3格林公式及其应用一、格林公式单连通与复连通区域单连通区域复连通区域设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域边界曲线的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数P(xy)及Q(xy)在D上具有一阶连续偏导数则有其中L是D的取正向的边界曲线——格林公式应注意的问题:对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向例1.计算其中L为上

2、半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L所围区域为D,则原式圆周提示解(1)当(00)D时由格林公式得记L所围成的闭区域为D当x2y20时有不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向在D内取一圆周lx2y2r2(r>0)(2)当(00)D时解记L所围成的闭区域为D记L及l所围成的复连通区域为D1应用格林公式得其中l的方向取顺时针方向于是不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向提示格林公式的应用:用格林公式计算区域的面积设区域D的边界曲线为L则在格林公式中令PyQx则有例3求椭圆x

3、acosqybsinq所围成图形的面积A解设L是由椭圆曲线则提示:因此,由格林公式有用格林公式计算二重积分解为顶点的三角形闭区域因此,由格林公式有解为顶点的三角形闭区域二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关设G是一个开区域P(xy)、Q(xy)在区域G内具有一阶连续偏导数与路径无关否则说与路径有关如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2等式说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关这是因为设L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线则L1(

4、L2-)是G内一条任意的闭曲线而且有定理2设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(i)沿D中任意按段光滑闭曲线L,有(ii)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分(iii)(iv)在D内处处成立与路径无关,只与L的起点及终点有关.函数则以下四个条件等价:是D内是某一函数的全微分,即证明(i)(ii)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则(根据条件(i))所以证明(ii)(iii)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数证明(iii)(iv)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,所以从而在D内每一点都有证明

5、(iv)(i)设L为D中任一分段光滑闭曲线,利用格林公式,得所围区域为证毕由条件(iv),在D上处处成立由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数:具有性质：du=Pdx+Qdy称u(x,y)为Pdx+Qdy在域D内的一个原函数.求原函数的公式应用定理2应注意的问题(1)区域G是单连通区域(2)函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立解这里P2xyQx2选择从O(00)到A(10)再到B(11)的折线作为积分路线物线yx2上从O(00)到B(11)的一段弧解：这里例6验证2x

6、ydxx2dy在整个xOy平面内是某一函数u(xy)的全微分并求这样的一个u(xy).所以P(xy)dxQ(xy)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(xy)的全微分例7.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.机动目录上页下页返回结束思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!机动目录上页下页返回结束与路径无关的四个等价命题条件等价命题小结备用题1.设C为沿从点依逆时针的半圆,计算解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点