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时间：2019-08-04
《格林公式及应用(II)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、Gyxo一、曲线积分与路径无关的定义BA如果在区域G内有二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设G是单连通域,在G内具有一阶连续偏导数,(1)沿G中任意光滑闭曲线L,有(2)对G中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在G内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在G内是某一函数的全微分,即机动目录上页下页返回结束说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明:(1)(2)设为G内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))定理2目录上页下页返回结束证明:(2)(3)在
2、G内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数定理2目录上页下页返回结束证明:(3)(4)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在G内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有定理2目录上页下页返回结束证明:(4)(1)设L为G中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕定理2目录上页下页返回结束说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅
3、助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2目录上页下页返回结束解解例3.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。机动目录上页下页返回结束例4.验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:令则由定理2可知存在原函数三、小结与路径无关的四个等价命题条件等价命题练习题练习题答案
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