格林公式及应用

《格林公式及应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、曲线积分与曲面积分第三节格林公式及平面上曲线积分与路径无关的条件一.格林公式平面区域上的二重积分与区域边界曲线上的曲线积分的关系。设D为一平面域，如果D内任意闭曲线所包围的全体点都属于D，则称D为单连通域.否则称D为复连通域DD从直观上看，单连通域是不含有“洞”的区域．§3格林公式及平面上曲线积分与路径无关的条件定理1（格林定理）设函数P(x,y),Q(x,y)在域D及其边界L上具有一阶连续偏导数，则L取正向格林公式先假设区域D既是X-型又是Y-型证同理如果D不满足以上条件，那么可以用辅助曲线把D分成有限个部分闭区域，使得每个部

2、分闭区域都满足上述条件。再考虑一般情形,例如MN两式相加，注意到沿辅助曲线的曲线积分相互抵消注意:对于一般的复连通域D(非“点洞”),格林公式仍然成立,此时L为D的全部边界曲线且取正向。利用格林公式，可得区域D的面积公式。令P=-y,Q=x例计算椭圆x=acost,y=bsint所围的面积.例计算,其中L是矩形闭曲线(如图).由格林公式-132例计算其中L是A到O的上半圆(如图).OAaLL为非闭曲线,直接计算较繁.作辅助线OA,在闭曲线L+OA上用格林公式而OA:y=0,x从0到a所以所以二.平面上曲线积分与路径无关的条件设P

3、(x,y),Q(x,y)是定义在平面域D上的有界函数，恒有如果对于D内的任意两点A,B以及D内从点A到点B的任意两条曲线,ABD在D内与路径无关L的端点A，B的坐标定理1设函数P(x,y),Q(x,y)在单连域D内具有一阶连续偏导数，则下面三个条件相互等价：(3)在D内曲线积分与路径无关.(1)在D内恒成立；(2)对于D内任一闭曲线C，应用格林公式,有证(1)→(2)因为D是单连域,所以闭曲线C所围成的区域G全部在D内,于是对于闭曲线C=AmB+BnA,(2)→(3)在D内任取两条连接A、B的曲线AmB、AnBABDmn即(3)

4、成立在D内任一闭曲线C上任取两点A、B，将C分成两段，即C=AmB+BnA，(3)→(1)用反证法证明(1)假设D内有一点M，使设因为连续使从而设C为的正向边界，则由格林公式知矛盾,则(1)得证.三个条件循环推导了一遍，从而证明了它们相互等价注意:1.常用(1)来判断曲线积分与路径无关;2.当曲线积分与路径无关时，常选择最简路径——平行于坐标轴的直线段组成的折线作为积分路径;3.如果D是复连通域，即使，曲线积分也不一定与路径无关。成立例计算L是通过O(0,0),A(1,0)和B(1,2)的圆周OAB因为所以积分与路径无关,取折线

5、OAB作为积分路径.例计算L是不过原点且按逆时针方向的闭曲线因为分两种情况讨论LCD1.设L内不含原点,则由定理1得2.设L内包含原点记L和C所围成的闭区域为D,在复连域D内应用格林公式,得则选取适当小的正数r,作位于L内的圆周C:三．二元函数的全微分求积1.原函数:如果存在一个函数u(x,y)，使得du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy原函数全微分式例如全微分式原函数2.判别定理定理2设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通域D内具有一阶连续偏导数，则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在D内为某一函数全微分在D内恒

6、成立.注:可以将定理1,2合并记忆为四命题等价.3.全微分求积当Pdx+Qdy为全微分式时，求其原函数u(x,y)的过程.与路径无关，可选平行于坐标轴的折线作为积分路径.如图取为积分路径,得如图取为积分路径,得例验证全微分式并求其原函数.取起点为(0,0),由公式全微分式在右半平面(x＞0)取起点为(1,0),全微分式注意:全体原函数为u(x,y)+C.思考题xyA(2,3)B(4,1)mxymA(2,3)B(4,1)