空间点、线、面之间的位置关系

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1、空间点、线、面之间的位置关系【知识梳理】1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的___两点_____在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过__这个公共点___的一条直线．公理3：经过______不在同一条直线上______________的三点，有且只有一个平面．推论1：经过_____一条直线和这条直线外的一点_______________，有且只有一个平面．推论2：经过___两条相交直线_____________，有且只有一个平面．推论

2、3：经过____两条平行直线____________，有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内______________的直线是异面直线．(3)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a，b所成的角．②范围：____________.答案：(1)平行　相交　(2)不经过该点　(3)①锐角或直角　②　3.同一条直线　4.相等3．公理4平行于

3、______同一条直线______的两条直线互相平行．4．定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角___相等_____．【自我检测】1．若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是平行、相交或异面．2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线____24____对．3．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为___4,6,7,8_____．4．(2010·全国Ⅰ)直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异

4、面直线BA1与AC1所成角的大小为__60°______．将直三棱柱ABC—A1B1C1补成如图所示的几何体．由已知易知：该几何体为正方体．连结C1D，则C1D∥BA1.∴异面直线BA1与AC1所成的角为∠AC1D(或补角)，在等边△AC1D中，∠AC1D＝60°.5．下列命题：①空间不同三点确定一个平面；8②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的

5、四边形是平行四边形．其中正确的命题是____④____(填序号).【例题分析】例1、如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH.(1)求AH∶HD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点．(1)解　∵＝＝2，∴EF∥AC.∴EF∥平面ACD.而EF⊂平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH.∴＝＝3，即AH∶HD＝3∶1.(2)证明　∵EF∥GH，且＝，＝，∴EF≠G

6、H，∴四边形EFGH为梯形．令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，P∈FG，FG⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．变式1　如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线．证明　∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理可证O∈平面BCD，∴O∈平面ABD∩平面BCD，即O∈BD，∴B、D、O三点共线．例2、如图所示，直线a、b是异面

7、直线，A、B两点在直线a上，C、D两点在直线b上．求证：BD和AC是异面直线．证明两直线为异面直线的方法：1．定义法(不易操作)．2．反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．83．判定定理．证明　假设BD和AC不是异面直线，则BD和AC共面，设它们共面于α.∴A、B、C、D∈α，∴AB、CD⊂α，即a、b⊂α.这与a、b是异面直线矛盾，故假设不成立．∴BD和AC是异面直线．变式2如图是正方体或四面体，P、Q、R、

8、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是___④____(填序号)．例3、(2009·全国Ⅰ)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为____