线性空间练习题

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1、线性空间练习题一、单项选择题R3中下列子集（）不是R3的子空间．A．B．C．D．二、判断题1.设则是的子空间.2、已知为上的线性空间，则维(）＝2.3、设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组线性表出，则维(W)＝s4、设是线性空间V的子空间，如果则必有三、1．已知,是的两个子空间，求的一个基和维数．2．已知关于基的坐标为（1，0，2），由基到基的过渡矩阵为，求关于基的坐标．四、设是数域P上的n维列向量空间，记1.证明：都是的子空间；2.证明：.线性变换练习题一、填空题1．设是线性空间的一组基，的一个线性变换在这组基下的矩阵是则

2、在基下的矩阵＝_________，而可逆矩阵T＝_________满足在基下的坐标为_________.2．设为数域上秩为的阶矩阵，定义维列向量空间的线性变换：　,则＝_______，＝______，＝_____.3．复矩阵的全体特征值的和等于________，而全体特征值的积等于_______.4．设是维线性空间的线性变换，且在任一基下的矩阵都相同，则为________变换.5．数域上维线性空间的全体线性变换所成的线性空间为_______维线性空间，它与________同构.6．设阶矩阵的全体特征值为，为任一多项式，则的全体特征值为______

3、__.二、判断题1．设是线性空间的一个线性变换，线性无关，则向量组也线性无关.　　（　　）2．设为维线性空间的一个线性变换，则由的秩＋的零度＝，有　（　　）3．在线性空间中定义变换：，则是的一个线性变换.　　　（　　）4．若为维线性空间的一个线性变换，则是可逆的当且仅当＝｛0｝.　　（　　）5．设为线性空间的一个线性变换，为的一个子集，若是的一个子空间，则必为的子空间.（　　）三、计算与证明1．设，问为何值时，矩阵可对角化?并求一个可逆矩阵，使.2．在线性空间中定义变换：（1）证明：是的线性变换.（2）求与（3）3．若是一个阶矩阵，且，则的特征值

4、只能是0和1.欧氏空间练习题一、填空题1．设是一个欧氏空间，，若对任意都有，则＝_________．2．在欧氏空间中，向量，，那么＝_________，＝_________．3．在维欧氏空间中，向量在标准正交基下的坐标是，那么＝_________，＝_________．4．两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．5．已知是一个正交矩阵，那么＝_________，＝_________．二、判断题1．在实线性空间中，对于向量，定义，那么构成欧氏空间。()2．在维实线性空间中，对于向量，定义，则构成欧氏空间。()3．是维

5、欧氏空间的一组基，与分别是V中的向量在这组基下的坐标，则。()4．对于欧氏空间中任意向量，是中一个单位向量。()5．是维欧氏空间的一组基，矩阵，其中，则A是正定矩阵。()6．设是一个欧氏空间，，并且，则与正交。()7．设是一个欧氏空间，,并且，则线性无关。()8．若都是欧氏空间的对称变换，则也是对称变换。()三、计算题1．把向量组，扩充成中的一组标准正交基.2．求正交矩阵，使成对解角形。四、证明题1．设，为同级正交矩阵，且，证明：．2．设为半正定矩阵，且，证明：．3．证明：维欧氏空间与同构的充要条件是，存在双射，并且有小测验九一、填空题1、已知三

6、维欧式空间中有一组基，其度量矩阵为，则向量的长度为　　　　　　　　　　。2、设在此内积之下的度量矩阵为　　　　。3、在n维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵为　　。4、在欧氏空间中，已知，则，与的夹角为　　　　　（内积按通常的定义）。5、设为欧氏空间，则有柯西-施瓦茨不等式：　　　　　　　　　　　　　　　。二、已知二次型（1）t为何值时二次型f是正定的？（2）取，用正交线性替换化二次型f为标准形三、设是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为（1）令，证明是一个单位向量；（2）若与正交，求四、设为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性

7、变换A如下：　　　证明：（1）A为第二类的正交变换（称为镜面反射）。（2）V的正交变换B是镜面反射的充要条件为1是B的特征值，且对应的特征子空间的维数为n-1.五、已知是对称变换，证明：的不变子空间的正交补也是的不变子空间．　小测验(六)一、填空题1、已知是的一个子空间，则维（V）＝　　　，V的一组基是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.2、在P4中，若线性无关，则k的取值范围是　　　　　　　　　.3、已知a是数域P中的一个固定的数，而是Pn+1的一个子空间，则a＝　　　，而维(W)＝　　　　　.4、设Pn是数域P上的n维列向量空间，记则W

8、1、W2都是Pn的子空间，且W1＋W2＝　　　　　　　　　，＝　　　　　.5、设是线性空间V的一组基，，则由基到基的过渡矩阵T＝　　　，