第6章 线性空间练习题

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1、第6章线性空间练习题一、填空题（）1.已知三维向量空间的一组基是，则向量在这组基下的坐标是．2.从R2的基到基的过渡矩阵为．3.已知，则解空间的维数是，解空间一组基是．4.设中定义，则不作成线性空间的理由可以为．5.设是有理数域，，关于实数的加法和乘法作成线性空间，该空间的维数是．二、单项选择题（）1.在下列集合中，对指定的运算不能构成实数域R上的一个线性空间的是()．(A)所有m×n的实矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法(B)所有n阶实对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法(C)所有n阶实反对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法(D)所有n阶可逆矩阵，对矩阵的加法

2、及数与矩阵的乘法2.设V＝R3，下列集合为V的子空间的是()．(A)(B)(C)(D)(Q为有理数域)3.下列线性空间中，()与其它三个空间不同构．(A)(B)是复数域(C)(D)是复数域4.向量空间，则W的维数为()．(A)1(B)2(C)n(D)n-15.在中，由基到基的过渡矩阵为C，则C＝()．(A)(B)(C)(D)三、计算题（）1.在线性空间中，（1）求基向量组到基向量组的过渡矩阵C；（2）求在基下的坐标．2.设的有两个基向量组和，(1)求在这两组基下的坐标；(2)求向量，使它在这两组基下有相同的坐标．3.在中，求子空间的一组基和维数．4.在中，，两个子空

3、间分别求一组基和维数．四、证明题1．设线性空间中为向量，且，证明：向量组线性无关的充分必要条件是线性无关．2．设是线性空间的两个子空间，证明：是的子空间的充分必要条件是．3．设是线性空间的两个子空间，证明：是直和的充分必要条件是中至少有一个向量可以唯一地表示为，其中．4．叙述并证明有限维线性空间上关于两个子空间的维数公式．5．设，证明：（1）是的子空间；（2）与同构．参考答案一、填空题（)1.(-1，0，2)；2.；3.2，（不唯一）；4.；5.2．二、选择题()1.D；2.A；3.D4.D；5.B三、计算题（）1.（1），（2）(2,5,-1)T2.(1)；(2)

4、Y＝(0,-4,5)T，X＝(1,2,4)T；(3)。3.基4.的一组基为，的一组基，维数是4；的一组基维数是1．四、证明题1．利用向量组的线性表示。2．充分性：显然，必要性：考虑反证法3．必要性：显然，充分性：考虑反证法4．（略）5．对照子空间条件，考虑维数