求导法则与初等函数求导(11级

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1、第二节函数求导法则直接用定义去求每一个函数的导数是极为复杂和困难的.利用本节给出的四则运算和复合函数的求导法则,就能比较方便地求出初等函数的导数.一、函数和、差、积、商的求导法则二、反函数求导法则三、复合函数的求导法则四、初等函数的导数一、函数和、差、积、商的求导法则定理1设函数u=u(x)及v=v(x)都在点x处可导,那么它们的和、差、积、商在x处也可导,且（2）[u(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x)（1）[u(x)v(x)]=u(x)v(x)；（3）【v(x)0】(2)证:设则有故结论成

2、立.乘积求导法则可简单地表示为(uv)=uv+uv.推论2设u(x)在点x处可导,C为常数,则(Cu)=Cu.推论3设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均可导,则(uvw)=uvw+uvw+uvw.法则(1)可推广到任意有限项的情形.例如,推论1=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)例1y=ex(sinx+cosx)–ln3,求y.=(ex)(sinx+cosx)+ex(sinx+cosx)解y=(ex(sinx+cosx))+(ln3)=2excosx.例2y=

3、tanx,求y.即(tanx)=sec2x.这就是正切函数的求导公式.类似地可求余切函数的求导公式(cotx)=csc2x.例3y=secx,求y.即(secx)=secxtanx.这就是正割函数的求导公式.类似地可求余割函数的求导公式(cscx)=cscxcotx.二、反函数的求导公式定理2设函数在区间Iy上单调、可导,且,则它的反函数y=f(x)在对应区间Ix上也单调、可导,且简言之，即反函数的导数等于直接函数导数（不等于零）的倒数.例4.求函数解:则类似可求得,则的导数.为函数类似可求得解：的反函数。例5

4、.求函数的导数。小结:在点x可导,三、复合函数求导法则定理3.在点可导复合函数且在点x可导,即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)例6解例7解例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.则复合函数y=f(g(h(x)))对x的导数为例9.解熟练之后,计算时可以不写出中间变量,而直接写出结果.又如如例11y=lncos(ex),求y.例10解：例12设解：设例13设其中函数可导，求四、初等函数的导数1.基本导数公式(1)(C)=0;(

5、2)(x)=x-1;(3)(sinx)=cosx;(4)(cosx)=sinx;(5)(tanx)=sec2x;(6)(cotx)=-csc2x;(7)(secx)=secxtanx;(8)(cscx)=-cscxcotx;(9)(ex)=ex;(10)(ax)=axlna;2.函数的和、差、积、商的求导法则设u=u(x),v=v(x)均可导,则(1)(uv)=uv;(2)(uv)=uv+uv;(3)(Cu)=Cu;3.复合函数的求导法则设y=f(u),u=g(x),且f(u),g

6、(x)均可导,则复合函数y=f(g(x))的导数为利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意:初等函数的导数仍为初等函数.例14.求解:先化简后求导例15.求解:作业P842(1),(3),(8),(14)(16),(17),(18),3(3)4(1),(5),(8),(13),(14),内容小结求导公式及求导法则注意:1)2）分段函数求导时，分界点导数用左右导数求.3）反函数的求导法则：注意成立条件;4）复合函数的求导法则：注意函数的复合过程,合理分解正确使用链式法法则;例13例17求函数解的导数.例21求函数解的导

7、数.证（3）取得增量u,v,函数也取得增量除法求导法则可简单地表示为当x取增量x时,函数u(x),v(x)分别解：则特别当时,例9.求函数的导数。三、复合函数的求导法则定理3设函数u=g(x)在点x处可导,函数y=f(u)在点u=g(x)处可导,则复合函数y=f(g(x))在点x处可导,且其导数为设x取增量x,则u取得相应的增量u,因为u=g(x)可导,则必连续,所以x0时,当u=0时,可以证明上述公式仍然成立.从而y取得相应的增量y,即u=g(x+x)g(x),y=f(u+u)f(u).u0

8、,因此当u0时,有证中间变量的导数乘以中间变量对自身变量的导数.设y=f(u),u=g(v),v=h(x)都是可导函数,则复合函数y=f(g(h(x)))对x的导数为公式表明,复合函数的导数等于复合函数对例16设x>0,证明幂函数的导数公式(x)=x-1.证例1y