连续型随机变量的概率分布

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1、§1.6c.r.v.的概率密度c.r.v.及其概率密度的定义概率密度的性质三种重要的c.r.v.小结c.r.v.X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象d.r.v.那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出“概率密度函数”(probabilitydensityfunction,p.d.f.)的方式.下面我们就来介绍对c.r.v.的描述方法.则称X为c.r.v,称f(x)为X的p.d.f，简称为概率密度.一、c.r.v.及其p.d.f.的定义有,使得对任意实数,对于随机变量X,如果存在非负可积函

2、数f(x),c.r.v的分布函数在R上连续概率密度的性质:1o2of(x)xo面积为1这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度的充要条件利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率对于任意实数x1,x2,(x1

3、8小时的条件下，再无故障工作8小时的条件概率，等于无故障工作8小时的无条件概率，这种性质叫做“无记忆性”，也就是说，设备以前曾经无故障使用的时间，不影响它以后使用寿命的统计规律。在连续型分布中只有指数分布具有这种性质，这就决定了指数分布在排队论及可靠性理论中的重要地位。定理1.20例9：设自动取款机对每位顾客的服务时间（单位：分钟）服从θ=3的指数分布。若一位顾客恰好在你之前开始使用取款机，求（1）至少等候3分钟的概率；（2）等候3~6分钟的概率。又若你到达取款机时，已有一位顾客正在使用，上述概率又是多少？3.正态分布若连续型r.

4、v.X的概率密度为记作其中和(>0)都是常数,则称X服从参数为和的正态分布或高斯分布.请记住函数f(x)的图形呈钟形，越小，曲线越陡峭，以直线x=μ为对称轴，在x=μ取得最大值处有拐点，y=0是f(x)的水平渐近线。不难验证，令泊松积分：决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布的图形特点正态分布最早是由Gauss在测量误差时得到的，也称为Gauss分布。后续内容将表明，正态分布在概率统计中有特殊的重要地位。设X~,X的分布函数是正态分布的分布函数正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，当μ和σ不同时，是不同的正态分

5、布。标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用和表示：标准正态分布请记住的性质:事实上,～～标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理：证：Z的分布函数为则有定理：根据此定理,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.于是标准正态书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.正态分布表当x<0时,表中给的是x>0时,Φ(x)的值.若若X～N(0,1),~N(0,1)则设

6、X~N(10,4),求P(10

7、X10

8、<2).解:P(10

9、X10

10、<2)=2(1)1=0.6826例6：=(1.5)(0)～在参加统考的人中，及格者100人（及格分数为60），计算（1）不及格人数；（2）成绩前10名的人数在考生中所占的比例；（3）估计第10名考生的成绩。这表明及格人数占统考人数的比例为84.13%，即解P(X≥h)≤0.01或P(X

11、与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.假设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?设车门高度为hcm,按设计要求因为X～N(170,62),故P(X0.99因而=2.33,即h=170+13.98184设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.P(X

12、X

13、1)=2(

14、1)-1=0.6826P(

15、X

16、2)=2(2)-1=0.9544P(

17、X

18、3)=2(3)-1=0.99743准则将上述结论推广到一般的正态分布,可以认为，Y的取值几乎全部集中在区间内.这在统计学上称作“3准则”.~N(0,1)时，～～4.分布