圆当中的定理

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1、一、垂径定理1.理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2.深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。（M点是两点重合的一点，代表两层意义） 3.应用以上定理主要是解直角

2、三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。 4.弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。二、圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理 5.圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧

3、相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。    6.应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7.圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。三、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角

4、；90º的圆周角所对的弧是半圆四、相交弦定理圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等。五、圆内接四边形关系定理圆内接多边形-----所有顶点都在一个圆上的多边形.这个圆称多边形的外接圆.性质定理1圆内接四边形的对角互补如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.性质定理2圆内接边形的外角等于它的内角的对角。如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.六、切线的判定定理和性质定理切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过

5、切点的半径切线的性质定理的推论１:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点切线的性质定理的推论２:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．七、弦切角定理顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角八、切割线定理　切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项九、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等设△ABC的BC=a，CA=b，A

6、B=c，内切圆I和BC、AC、AB分别相切于点D、E、F10、割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线（与圆交点的距离）的积相等。