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1、第五章用Matlab进行现代科学计算5.1解析解与数值解在实际的工程技术中，一般通过数值解法来获得问题的解。至少有两个原因：1、解析解不存在如圆周率的值就没有解析解，超越积分也没有解析解。在这种情况下，就必须采用数值解技术。2、解析解存在但不实用如求解n元一次代数方程组的问题，从理论上讲，总可以把多元一次方程组简化成解析可解的形式。然而当n较大时，需要的基本运算次数是非常惊人的，对于求解实际问题所需要的计算成本是根本无法接受的，只能采用数值解法。5.2数值线性代数问题及求解5.2.1特殊矩阵的M
2、ATLAB输入零矩阵：zeros(m,n);(m,n)定义矩阵维数幺矩阵：ones(m,n);单位矩阵：eye(m,n);随机元素矩阵：rand(m,n);[0,1]上均匀分布randn(m,n);正态分布对角阵：diag(v);v为对角元素组成的向量5.2.2矩阵的特征参数运算矩阵的行列式：det(A)矩阵的迹：trace(A)，即对角线元素之和矩阵的秩：rank(A)，即线性无关的列数或行数矩阵的范数norm(A,p)11-范数，A的最大列和，max(sum(abs((A)))22-范数，最
3、大奇异值，norm(A)Inf无穷范数，A的最大行和，max(sum(abs(A')))'fro'Frobenius范数，sqrt(sum(diag(A'*A)))当A为向量时，范数定义稍有不同：norm(A,p)sum(abs(A).^p)^(1/p)norm(A)norm(A,2)norm(A,inf)max(abs(A))norm(A,-inf)min(abs(A))矩阵的特征多项式：c=poly(A)矩阵的特征值：特征方程的根roots(poly(A))或eig(A)若A为矩阵，则返回的
4、c就是向量[1,c1,…,cn-1,cn]降幂排列矩阵的特征值与特征向量[v,d]=eig(A)矩阵v的各列为特征向量，矩阵d的对角元素为特征值>>a=[123;456;780];>>[v,d]=eig(a)v=-0.2998-0.7471-0.2763-0.70750.6582-0.3884-0.6400-0.09310.8791d=12.1229000-0.3884000-5.7345矩阵求逆B=inv(A)为求矩阵A的逆矩阵>>a=[123;456;780];b=inv(a);c=a*b;
5、d=b*a;[bcd]ans=-1.77780.8889-0.11111.00000-0.00001.00000.000001.5556-0.77780.2222-0.00001.00000-0.00001.00000-0.11110.2222-0.11110.0000-0.00001.00000.00000.00001.000伴随阵法，初等变换法。。。多项式及多项式矩阵求值多项式求值B=polyval(aa,x)多项式矩阵求值B=polyvalm(aa,A)其中aa为多项式系数降幂排列构成的向
6、量；x为指定的标量，A为给定的方阵面向矩阵各个元素的函数B=函数名(A)用命令helpelfun可以查看这些命令列表，主要有sinsinhasinasinhcoscoshacosacoshtantanhatanatan2atanhsecsechasecasechcsccschacscacschcotcothacotacothexploglog10log2pow2sqrtabsanglecomplexconjimagrealunwrapisrealcplxpairfixfloorceilround
7、modremsign对矩阵进行数值分析的函数B=函数名(A)用命令helpdatafun可以查看这些命令列表，主要有maxminmeanmedianstdvarsortsortrowssumprodhisthistctrapzcumsumcumprodcumtrapzdiffgradientdel2corrcoefcovsubspacefilterfilter2convconv2convndeconvdetrendfftfft2fftnifftifft2ifftnfftshiftifftshif
8、t5.2.3矩阵的相似变换与分解1、三角形分解最基本的分解方法。可把任何一个方阵表示成两个三角矩阵的乘积，其中一个方阵是换位的下三角矩阵，另一个是上三角矩阵。这种分解法常称为LU分解或LR分解，其算法多为高斯消去法。是求解线性方程组、inv()和det()的基础。用lu()函数可得到分解后的两个三角矩阵，其调用形式为[L,U]=lu(A)2、正交分解也称为“QR”分解，将一个矩阵表示成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积，A=Q*R用qr()函数可得到分解后的两个矩阵，其调用形式为[Q,R]=qr
