随机变量及其概率分布（未

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1、第二章随机变量及其分布本章要求离散型随机变量随机变量的分布函数连续型随机变量及其概率密度随机变量函数的概率分布本章要求1.掌握随机变量及其分布函数的概念;2.理解离散型随机变量及其分布律的概念；掌握较简单的离散型随机变量的分布律的计算；掌握两点分布、二项分布与泊松分布；3.掌握连续型随机变量及其概率密度函数、性质及有关计算；掌握均匀分布、指数分布及其计算；熟练掌握正态分布及其计算,4.了解随机变量函数的概念，会求简单随机变量函数的概率分布;重点：随机变量的分布律与概率密度函数的概念、性质和计算，随机变量函数的分布，几种常见分布。关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．这是因为，

2、对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量2.1离散型随机变量2.1.1随机变量的概念定义.设S={e}是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。随机变量常用X、Y、Z或、、等表示。随机变量的特点:1、X的全

3、部可能取值是互斥且完备的2、X的部分可能取值描述随机事件随机变量的分类：随机变量2.1.2离散型随机变量定义若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pn,…,则称X为离散型随机变量，而称P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)为X的分布律或概率分布。可表为X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…Xx1x2…xK…Pkp1p2…pk…(1)pk0,k＝1,2,…;(2)例设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解k可取值0，1，2分布律的性质例某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为

4、p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5则A1,A2,…A5,相互独立且P(Ai)=p,i=1,2,…5.SX={0,1,2,3,4,5},(1-p)52.1.3(0-1)分布与二项分布1.(0-1)分布若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布)X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0

5、为n重贝努里试验.例从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.解:(1)由题意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律为:例某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。泊松定理设随机变量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，记=np，则解设X表示400次独立射击中命中的次数，则X～B(400,0.02)，故P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－(4

6、00)(0.02)(0.98399)=…上题用泊松定理取=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.2.1.4泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,且概率分布为：其中>0是常数,则称X服从参数为的泊松分布,记作X~P().据得:泊松(Poisson)分布满足分布律的基本性质泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布例设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对

7、夫妇,至少有3个孩子的概率。解:由题意,例一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解:设该商品每月的销售数为X,已知X服从参数λ=5的泊松分布.设商店在月底应进某种商品m件,求满足P{X≤m}>0.95的最小的m.进货数销售数此题特注求满足P{X≤m}>0.95的最小的m.查泊松分布表得P{X>m}≤