随机波动率与股票价格的波动率

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1、第5章随机波动率引言BS模型和隐含波动率波动率的一些特征事实离散时间模型连续时间模型第6章股票价格的波动率引言统计问题——非模型估计法基于模型估计法引言随机波动率（SV）模型产生于数理金融学和金融计量学。SV模型的几种变形来源于对不同问题的研究：Clark认为资产收益率是信息到达这一随机过程的函数，这种所谓的时间形变方法产生了资产收益率的时变波动率模型；Tauchen和Pitts提出了资产收益率与信息到达短暂相关的混合分布模型；Hull和White提出资产价格服从扩散过程，其波动率为正扩散过程等。瞬时波动率是一个标准布朗运动。标准布朗运动（维纳过程）定义如下：设代表一个小的时间间隔长度，

2、代表变量z在时间内的变化，遵循标准布朗运动的具有两种特征：特征1：和的关系满足（1）：（1）其中，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值。特征2：对于任何两个不同时间间隔,的值相互独立考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得：（2）当时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：（3）Black-Scholes模型假设：①股票价格遵循Ito（伊藤）过程；②没有交易成本、税收和卖空限制，不存在无风险套利机会；③标的资产在期权到期时间之前不支付股息和红利；④市场交易是连续的，价格波动也是连续的；⑤无风险利率r为常数，且对所有的到期日都相等。期权价格：随机波动期权定价

3、模型由于B-S模型的一些假设在实际中并不成立，特别是假设波动为常数，因此Hull和White提出了随机波动下的期权定价公式，该模型假设：Hull和White期权定价公式如果假定期权价格服从Hull-White公式，就会产生两类隐含波动：瞬时隐含波动和平均隐含波动。假设风险中心概率分布属于一个参数族，产生一个函数表达式：期权隐含波动模型首先由Latane和Rendlema在1976年提出。其基本原理是根据B-S期权定价公式从期权价格倒推出市场波动性。由于期权价格反映的是市场未来的波动性，因此应用该模型可以预测波动。隐含平均波动率1、肥尾：尖峰肥尾，利用峰度来衡量，有大量的文章利用肥尾的独立同分布

4、，为资产收益建模。2、波动率群集：对金融时间序列的任何观测都表明了高或低波动率时段的聚集，即大的波动后面跟着一个大的波动，小的波动后面跟着一个小的波动。事实上，波动率群集和资产收益肥尾是密切相关的，后者事实上是一个静态的解释，而ARCH模型的主要作用是给出了动态（条件）波动率行为和（无条件）肥尾间的正式联系。由Engle提出的，并且此后获得大量扩展的ARCH模型和SV模型，主要就是用于模拟波动率群集的。文献广泛讨论的还有ARCH效应随着时频归并而消失。波动率的一些特征事实3、杠杆效应：此现象是指股票价格和波动率呈负相关。因为下跌的股票价格暗示公司财务杠杆提高，人们相信这意味着更多的不确定性及更

5、高的波动率。一般杠杆效应自身作用太小，不足以解释股票价格中发现的不对称。4、信息到达：随着时间的变化，信息到达是不均匀的，并且经常不能被直接观测到。（交易量、报价到达、可预测事件，例如股利通告或者宏观经济数据发布、隔夜和周末市场关闭）5、长期记忆和持续性：一般来说，波动率是高度持续性的。特别是对于高频率数据，证据表明条件方差过程具有接近单位根的行为。6、波动率的协同运动：投机市场的跨国协同作用。7、隐含波动率的相关性：在金融期权定价模型中，从实际交易中获得期权价格数据，可以倒算推导出暗含在期权价格、持有期限、执行价格等条件下波动率的值，即为隐含波动率。人们认为隐含（平均）波动率包含了未来波动率

6、的信息，因此，可以预测未来波动率。通常对该假设的检验是用已实现波动率对过去的隐含波动率做回归。8、隐含波动率的期限结构：B-S模型所预测波动率的期限结构是平缓的。事实上，当短期波动率很低的时候，实价期权的隐含波动率的期限结构是向上倾斜的，反之则向下倾斜（见Stein,1989)。9、微笑效应：价格失真，指隐含波动率在不同执行价格时产生的U型模型。①U形模式当处于接近实值的期权时取其最小值。②波动率的微笑作为函数常是但不总是对称的。③到期期限越短，微笑的幅度增长越快。随机波动模型的起源离散时间模型与GARCH模型的比较对比：连续时间模型第六章股票价格的波动率6.1引言6.2统计问题①非模型估计法

7、非模型估计法的一些不尽人意的地方：②基于模型估计法