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《级数与交错p-级数的和》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、p-级数与交错p-级数的和蜀南竹海2012.5.11提要当p>1时p-级数收敛，相应的交错p-级数绝对收敛。那么它们的和之间有什么关系？能否由p-级数的和推导出相应的交错p-级数的和？本课件给出相应的结果，并举例说明。所有例子都用数学软件Maple给予了验证。2先看一个简单的例子34p:=2:f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p:Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity);((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%;Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinit
2、y);Maplecheck5用同样的方法可以解一下问题：6以下我们给出一般的结论789注1当p>1是偶数时，p-级数的和有精确表达式（设p=2m是偶数）：其中B2m是伯努利数（见：Bernoullinumber）见维基百科：Riemannzetafunction10p:=2:f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p:Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity);((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%;Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity);Maplec
3、heck:11p:=4:f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p:Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity);((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%;Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity);Maplecheck:12p:=8:f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p:Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity);((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%;Sum(g(n
4、),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity);Maplecheck:13注2当p>1不是偶数时，p-级数的和没有精确表达式，只能用zeta函数表示为ζ(p)或用近似值表示。14p:=3:f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p:Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity);((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%;Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity);Maplecheck（zeta函数形式）:15Maplecheck
5、(小数形式):p:=3:f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p:Sum(f(n),n=1..infinity)=evalf(sum(f(n),n=1..infinity));((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%;Sum(g(n),n=1..infinity)=evalf(sum(g(n),n=1..infinity));16p:=11:f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p:Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity);((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%;Sum
6、(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity);Maplecheck（zeta函数形式）:17Maplecheck(小数形式):p:=11:f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p:Sum(f(n),n=1..infinity)=evalf(sum(f(n),n=1..infinity));((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%;Sum(g(n),n=1..infinity)=evalf(sum(g(n),n=1..infinity));18Maplecheck:p:=11/7:f(n):=1/n^p:g(n):=
7、(-1)^(n-1)*1/n^p:Sum(f(n),n=1..infinity)=evalf(sum(f(n),n=1..infinity));evalf(((2^(p-1)-1)/2^(p-1)))*%;Sum(g(n),n=1..infinity)=evalf(sum(g(n),n=1..infinity));19Maplecheck:p:=sqrt(2):f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(
