极值点偏移1-2---极值点偏移定理资料

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1、极值点偏移1-2---极值点偏移判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数,在区间上只有一个极大(小)值点,方程的解分别为,且,(1)若,则,即函数在区间上极(小)大值点右(左)偏;(2)若,则,即函数在区间上极(小)大值点右(左)偏.证明:(1)因为对于可导函数,在区间上只有一个极大(小)值点,则函数的单调递增(减)区间为,单调递减(增)区间为,由于,有,且,又,故,所以,即函数极(小)大值点右(左)偏;(2)证明略.左快右慢(极值点左偏)左慢右快(极值点右偏)9左快右慢(极值点左偏)左慢右快(极值点右偏)二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述:(1)求出

2、函数的极值点;(2)构造一元差函数;(3)确定函数的单调性;(4)结合,判断的符号,从而确定、的大小关系.口诀:极值偏离对称轴,构造函数觅行踪;四个步骤环相扣,两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板:若已知函数满足,为函数的极值点,求证:.(1)讨论函数的单调性并求出的极值点;假设此处在上单调递减,在上单调递增.[KS5UKS5U.KS5U(2)构造;注:此处根据题意需要还可以构造成的形式.[KS5UKS5U](3)通过求导讨论的单调性,判断出在某段区间上的正负,并得出与的大小关系;假设此处在上单调递增,那么我们便可得出,从而得到:时,.(4)不妨设,通过的单调性,,与9

3、的大小关系得出结论;接上述情况,由于时,且,,故,又因为,且在上单调递减,从而得到,从而得证.(5)若要证明,还需进一步讨论与的大小,得出所在的单调区间,从而得出该处函数导数值的正负,从而结论得证.此处只需继续证明:因为,故,由于在上单调递减,故.【说明】(1)此类试题由于思路固定,所以通常情况下求导比较复杂,计算时须细心;(2)此类题目若试题难度较低,会分解为三问,前两问分别求的单调性、极值点,证明与(或与)的大小关系;若试题难度较大,则直接给出形如或的结论,让你给予证明,此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.[KS5UKS5U.KS5U三、对点详析,利器显锋芒★

4、已知函数.(1)求函数的单调区间和极值;(2)若,且,证明:.9∵,∴,在上单调递增,∴,∴.★函数与直线交于、两点.证明:.★已知函数,若,且,证明:.【解析】由函数单调性可知:若,则必有,。所以,而,令,则9所以函数在为减函数,所以,所以即,所以,所以.★已知函数有两个零点.设是的两个零点,证明:.四、招式演练★已知函数,其中为自然对数的底数,是的导函数.(Ⅰ)求的极值;(Ⅱ)若,证明:当,且时,.【答案】(1)当时,无极值;当时,有极小值;(2)详见解析.【解析】试题分析:(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(Ⅱ

5、)求出函数f(x)的导数,设函数F(x)=f(x)﹣f(﹣x),求出函数的导数,根据函数的单调性证明即可.试题解析:9(Ⅰ)的定义域为,当时,在时成立在上单调递增,无极值.当时,解得由得;由得所以在上单调递减,在上单调递增,故有极小值.(Ⅱ)当时,的定义域为,,由,解得.当变化时,,变化情况如下表:00+单调递减极小值单调递增∵,且,则(不妨设)9★已知函数,其中(1)若函数有两个零点,求的取值范围;(2)若函数有极大值为,且方程的两根为,且,证明:.【答案】(1);(2)见解析.(1)当时,函数在上单调递增,不可能有两个零点(2)当时,90-极大值的极大值为,由得;因

6、为,所以在必存在一个零点;显然当时,,所以在上必存在一个零点;9[KS5UKS5U][KS5UKS5U]9

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