3.2.1几类不同增长的函数模型1

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1、函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型例1、假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一、每天回报40元；方案二、第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三、第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？下面我们先来看两个具体问题。解：设第x天所得回报是y元方案一可以用函数进行描述；方案二可以用函数进行描述；方案三可以用函数进行描述.例、1假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一、每天回报40元；方案二、第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三

2、、第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？分析：2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？分析：2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？解：设第x天所得回报是y元方案一可以用函数进行描述；方案二可以用函数进行描述；方案三可以用函数进行描述.3、三个函数模型的增减性如何？4、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？图-1我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。从中你对“指数爆炸”的含义有什么

3、新的理解？函数图象是分析问题的好帮手。为了便于观察，我们用虚线连接离散的点。根据以上的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下先方案一，投资5~8天先方案二，投资8天以上先方案三？由表-1和图-1可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同。可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的，从每天所得回报看，在第1~4天，方案一最多，在5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方

4、案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元。因此，投资8天以下(不含8天)，应选择第一种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天(含11天)以上，刚应选择第三种投资方案。例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时奖金总数不超过利润的25%,现有三个奖励模型：其中哪个模型能符合公司的要求？思考：１．X的取值范围，即函数的定义域．２．要满足哪些条件？３．通过图象说明选用哪个函数模型？为什么？分析：某

5、个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润。同时奖金不超过利润的25%，于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可。不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论再通过具体计算，确认结果。我们不妨先作出函数图象：通过观察函数图象得到初步结论：按对数模型进行奖励时符合公司的要求。4006008001000120020012345678xyo对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。y=5y=0.25x解：借助计算机作出函数的图象。观察图象发现

6、，在区间[10,1000]上，模型　　　　　的图象都有一部分在直线的上方，只有模型的图象始终在的下方，这说明只有按模型进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断。首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万。对于模型　，对于模型，对于模型，它在区间[10,1000]上递增，当时，因此该模型不符合要求；，由函数图象，并利用计算器，可知在区间　　内有一个点　满足　　　　　　　，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当时，因此该模型也不符合要求；它在区间[10,1000]上递增，而且当时，　　　　　　　　　　　，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。令。利用计算机作出函数的图象（图），由图

7、象可知它是递减的，因此即所以当　时，。说明按模型　　　奖金不会超过利润的25%。再计算按模型　　　奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当　　　　　　时，是否有成立。综上所述，模型　　确实能很符合公司要求。小结与反思：通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美．1、四个变量随变量变