高等数学课件完整版详细

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1、一、问题的提出实例:曲线形构件的质量匀质之质量分割求和取极限近似值精确值二、对弧长的曲线积分的概念1.定义被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量2.存在条件：3.推广注意：4.性质三、对弧长曲线积分的计算定理注意:特殊情形推广:例1解例2解例3解例4解由对称性,知四、几何与物理意义五、小结1、对弧长曲线积分的概念2、对弧长曲线积分的计算3、对弧长曲线积分的应用思考题对弧长的曲线积分的定义中的符号可能为负吗？思考题解答的符号永远为正，它表示弧段的长度.练习题练习题答案一、问题的提出实例:变力沿曲线所作的功常力所作的功分割求和取极限近似值精确值二、对坐标的曲线积分的概念1.定义类似地定

2、义2.存在条件：3.组合形式4.推广5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、对坐标的曲线积分的计算定理特殊情形(4)两类曲线积分之间的联系：其中（可以推广到空间曲线上）可用向量表示有向曲线元；例1解例2解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.例3解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.四、小结1、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系思考题思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.练习题练习题答案一、区域连通性的分类设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否

3、则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G是空间二维单连通域;如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面,则称G为空间一维单连通区域.GGG一维单连通二维单连通一维单连通二维不连通一维不连通二维单连通二、格林公式定理1边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.证明(1)yxoabDcdABCE同理可证yxodDcCE证明(2)D两式相加得GDFCEAB证明(3)由(2)知xyoL1.简化曲线积分三、简单应用AB2.简化二重积分xyo解xyoLyxoxyo(注意格林公式的条件)3.计算平面面积解四、小结

4、1.连通区域的概念;2.二重积分与曲线积分的关系3.格林公式的应用.——格林公式;若区域如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。思考题思考题解答由两部分组成外边界：内边界：Gyxo一、曲线积分与路径无关的定义BA如果在区域G内有二、曲线积分与路径无关的条件定理2两条件缺一不可有关定理的说明：三、二元函数的全微分求积定理3解解四、小结与路径无关的四个等价命题条件等价命题练习题练习题答案一、概念的引入实例所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.二、对面积的曲面积分的定义1.定义2.对面积的曲面积分的性质三、计算法则按照曲面的不同情况分

5、为以下三种：则则例1解解依对称性知：例3解（左右两片投影相同）例4解四、小结2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.1、对面积的曲面积分的概念;（按照曲面的不同情况分为三种）思考题在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义.思考题解答是曲面元的面积,故是曲面法线与轴夹角的余弦的倒数.练习题练习题答案一、基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面莫比乌斯带典型单侧曲面:播放曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:二、概

6、念的引入实例:流向曲面一侧的流量.1.分割则该点流速为.法向量为.2.求和3.取极限三、概念及性质被积函数积分曲面类似可定义存在条件:组合形式:物理意义:性质:四、计算法注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.解五、两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系向量形式解六、小结1、物理意义2、计算时应注意以下两点曲面的侧“一投,二代,三定号”思考题思考题解答此时的左侧为负侧，而的左侧为正侧.练习题练习题答案莫比乌斯带典型单侧曲面:典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单

7、侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带（一）曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（三）场论初步一、主要内容第九章习题课曲线积分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义计算定义计算联系联系（一）曲线积分与曲面积分曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线