高等数学课件 完整版详细.ppt

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1、例定义：一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例（为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，（2）若和都是的原函数，则（为任意常数）证（为任意常数）任意常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量例1求解解例2求例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知结论：微分运

2、算与求不定积分的运算是互逆的.实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.二、基本积分表基本积分表是常数);说明：简写为例4求积分解根据积分公式（2）证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质例5求积分解例6求积分解例7求积分解例8求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.解所求曲线方程为基本积分表(1)不定积分的性质原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系四、小结思考题符号函数在内是否存在原函数？为什

3、么？思考题解答不存在.假设有原函数故假设错误所以在内不存在原函数.结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.练习题练习题答案问题解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.定理1例1求解（一）解（二）解（三）例2求解一般地例3求解例4求解例5求解例6求解例7求解例8求解例9求原式例10求解例11求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例12求解例13求解（一）（使用了三角函数恒

4、等变形）解（二）类似地可推出解例14设求.令例15求解问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法证设为的原函数,令则则有换元公式定理2第二类积分换元公式例16求解令例17求解令例18求解令说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(2)例19求（三角代换很繁琐）令解例20求解令说明(3)当分母的阶较高时,可采用倒代换例21求令解例22求解令（分母的阶

5、较高）说明(4)当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例23求解令基本积分表三、小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)思考题求积分思考题解答练习题练习题答案问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式一、基本内容例1求积分解（一）令显然，选择不当，积分更难进行.解（二）令例2求积分解（再次使用分部积分法）总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)例3求积分解令例4求积分解总结若被

6、积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.例5求积分解例6求积分解注意循环形式例7求积分解令解两边同时对求导,得合理选择，正确使用分部积分公式二、小结思考题在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？思考题解答注意前后几次所选的应为同类型函数.例第一次时若选第二次时仍应选练习题练习题答案有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例难点将有理函数化为部分分式

7、之和.（1）分母中若有因式，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为（2）分母中若有因式，其中则分解后为特殊地：分解后为真分式化为部分分式之和的待定系数法例1代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例2例3整理得例4求积分解例5求积分解例6求积分解令说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：多项式；讨论积分令则记这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为二、三角函数有理式的积分令（万能置换公式）例7求积分解

8、由万能置换公式例8求积分解（一）解（二）修改万能置换公式,令解（三）可以不用万能置换公式.结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,