自动控制系统的数学模型(I)

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1、§2-0问题的提出§2-1控制系统的微分方程§2-2传递函数§2-3传递函数方框图等效变换§2-4典型环节及其传递函数第二章自动控制系统的数学模型拉氏变换定理方框图结束方框图练习（10min）一阶惯性环节返回目录控制单元执行单元控制对象测量单元p(t)q(t)y(t)b(t)r(t)e(t)+-f(t)y(t)=F(r(t),f(t))为研究系统输出y(t)随时间变化的规律，以及系统的特性，必须研究系统的数学模型。§2-0问题的提出返回本章§2-1控制系统的微分方程任何一个物理系统都可以用一个微分方程进行描述，控制系统也不例外。例如：RCUi(t)UO

2、(t)解返回本章§2-1控制系统的微分方程RCUi(t)UO(t)当Uo(0)=0时，返回本节一般地，对于线性定常系统，可描述为：§2-1控制系统的微分方程返回本节系统的数学模型可以用微分方程表示，但对复杂的微分方程，其求解过于困难，甚至无法求解。为此研究系统的复数模型，即传递函数。为把实数模型转换为复数模型，必须借助拉氏变换，即Laplace变换。返回本章§2-2传递函数1.Laplace变换积分变换的一种，它把复杂的微分方程转换为简单的线性代数方程。定义为：其中，s=σ+jω；F(s)——f(t)的象函数；f(t)——F(s)的象原函数例如：返回本

3、节§2-2传递函数2.常用拉氏变换：返回本节§2-2传递函数3.拉氏变换定理：条件：f(0)=0,即初始条件为0条件：f(0)=f'(0)=f''(0)=…f(n-1)(0)=0返回本节§2-2传递函数4.拉氏逆变换：可通过公式推导，但通常通过查拉氏变换表。如不能直接查到，则应先分解为部分分式和。例如：返回本章§2-2传递函数5.传递函数：RCUi(t)UO(t)设Uo(0)=0，则返回本节§2-2传递函数从以上可以看出，只要G(s)一确定，该电路（环节、系统）的输出与输入之间的关系便已确定。因此，将G(s)称为该电路（环节、系统）的传递函数。返回本节

4、§2-2传递函数传递函数的定义：线性定常系统在初始条件为零的情况下，其输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。下面推导一般系统的传递函数：返回本节§2-2传递函数在初始条件为零的情况下，对两边求拉氏变换得：传递函数G(s)在复数域表征了在零初始条件下系统的输出量与输入量之间的关系。对于实际的系统，总有n≥m。即G(s)是复变量s的有理分式。返回本节§2-2传递函数将G(s)写成：其中，X(s)=0称为系统的特征方程，也即对应微分方程的特征方程；pi(i=1~n)为X(s)=0的根，称为G(s)的极点；zi(i=1~m)为Y(s)=0的根，称为G(s)的

5、零点。如果系统特征方程中s的次数是n，则称该系统称为n阶系统。返回本节§2-2传递函数传递函数的性质：1）分母次数n≥分子次数m，惯性所致；◎2）an,an-1,…a1,a0;bm,bm-1,…,b1,b0取决于系统中各元件的参数；3）传递函数反映系统的固有特性，取决于系统的结构和参数，与系统存在的物理形式、输入输出的形式以及初始条件无关；4）传递函数的零极点若为复数，则必为共轭复数，成对出现；5）传递函数的拉氏逆变换实际上是系统的理想单位脉冲响应（简称脉冲响应）；◎6）传递函数在系统中起信号的传递或转换作用。返回本节§2-2传递函数由于传递函数反映

6、的是系统的固有特性，取决于系统的结构和参数，与系统存在的物理形式、输入输出的形式以及初始条件无关，因此在研究控制系统时往往仅从系统的传递函数入手，而不去关心系统的结构形式。因为，对于控制系统，最重要的是：（1）系统的动态过程是否稳定，以及稳定程度如何；（2）系统是否存在静态偏差，以及静态偏差的大小；（3）寻找提高稳定性和减少静态偏差的途径。传递函数的用途：（1）求系统或环节输出量的表达式；（2）分析系统的稳定性、动态特性和静态特性。返回本节§2-2传递函数6.传递函数的方框图：将一个环节用方框图表示，并将其传递函数写在方框中，便得到该环节的传递函数方框

7、图；若用方框图描述一个系统，并将系统中各个环节用传递函数方框图表示，则得到该系统的传递函数方框图。G(s)Xi(s)XO(s)环节的传递函数方框图返回本节§2-2传递函数G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)P(s)Q(s)Y(s)B(s)R(s)E(s)+-F(s)控制系统的传递函数方框图返回本节§2-2传递函数传递函数的方框图的基本元素：（1）函数方框：方框中的传递函数表示该环节的动态特性，其输出等于该环节的传递函数和输入的乘积。环节的输入会影响环节的输出，但输出不会影响输入。（2）信号线：带箭头的信号传递路线，信号线上标出其携带的信号变量。信号

8、传递具有单向性。（3）引出点（交叉点，测量点）：信号线的分叉点。同一位置引出的信号在数值和性质