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1、关于实数完备性的研究一、实数完备性理论的介绍什么是实数完备性？实数完备性就是是数学分析的基础，它是指六大定理的等价。下面我们介绍一下六大定理。1.1确界原理1.1.1确界原理的定义定义1设为R中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切，都有M(L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)．若数集既有上界又有下界，则称为有界集．若不是有界集，则称为无界集．定义2设是R中的一个数集．若数满足：（i）对一切，有，即是的上界；（ii）对任何存在，使得即又是的最小上界则称数为数集的上确界，记作定义3设是R中的一个数集．若数满足：（i）对一切，有，即是的下界（ii）对任何，存在，
2、使得即又是的最大下界，则称数为数集的下确界，记作上确界与下确界统称为确界．1.1.2确界原理及其证明确界原理设为非空数集．若有上界，则S必有上确界；若有下界，则必有下确界．27证我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明．为叙述的方便起见，不妨设含有非负数．由于有上界，故可找到非负整数，使得对于任何有;存在,使.对半开区间作等分,分点为,则存在中的一个数,使得对于任何有；存在，使．再对半开区间作等分，则存在中的一个数使得对于任何有存在，使继续不断地等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在中的—个数，使得对于任何有存在，使将上述步骤无限地进行下去，得到实数．以下证明．为此只需证明：
3、（i）对一切有；（ii）对任何，存在使．倘若结论（i）不成立，即存在使，则可找到的位不足近似，使，从而得27，但这与不等式相矛盾．于是（i）得证．现设，则存在使的位不足近似，即，根据数的构造，存在使，从而有，即得到，．这说明（ii）成立．1.2单调有界原理1.2.1极限以及数列定义定义4若函数的定义域为全体正整数集合，则称或为数列定义5设为数列，为定数.若对任给的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作或.定义6若数列的各项满足关系式，则称为递增（递减）数列.递增数列和递减数列通称为单调数列.1.2.2单调有界定理及其证明单调有界定理在实数系中
4、，有界的单调数列必有极限.证不妨设为有上界的递增数列.由确界原理，数列有上确界，记为.下面证明就是的极限..事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中的某一项使得.又由的递增性，当时有.另一方面，由于是数列的一个上界，故对一切都有.27所以当时，这就证得.同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.1.3区间套定理1.3.1区间套定义定义7设闭区间列具有如下性质：（i）；（ii），则称为闭区间套，或简称区间套.1.3.2区间套定理及其证明区间套定理若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得,即.证由定义7的条件（i）可知,数列为递增有界数列,依单调有界定理，有极限，且有.同理
5、，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（ii）有，且.综上，可得.下面证明满足的是唯一的.设数也满足，则由有.由区间套的条件（ii）得，故有.注区间套定理中的闭区间若改为开区间,那么结论不一定成立.例如对于开区间列,显然是不存在的.推论若是一个区间套所确定的点，则对任给的，存在，使得当时有.27证由区间套定理的证明可得：.由极限的保号性,对于任意正数e,存在正整数N,当时，有，，即，这就是说.1.4.1聚点定理1.4.1聚点定义定义8设为数轴上的非空点集,为直线上的一个定点(当然可以属于,也可以不属).若对于任意正数,在中含有的无限个点,则称为的一个聚点.定义8¢设为实数集上的非空点集,.若
6、对于任意正数，，则称为的一个聚点.定义8″若存在各项互异的收敛数列，则其极限称为的一个聚点.下面简单叙述一下这三个定义的等价性.定义8定义8¢由定义直接得到定义8¢定义8″对任给的，由，那么取，；取，；取，；这样就得到一列.由的取法，两两互异，并且27由此27定义8″定义8由极限的定义可知这是显然的.1.4.2聚点定理及其证明聚点定理实数轴上的任意有界无限点集必有聚点.证因为为有界点集,所以存在正数,使,且记.现将等分为两个子区间.因为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有中无穷多个点，记此子区间为，则且.再将等分为两个子区间，则其中至少有一个含有中无穷多个点，取出这样一个子区间，记为，则，且
7、.将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列，它满足，，即是区间套，且其中每一个闭区间都含有中无穷多个点.由区间套定理，存在唯一的一点.由区间套定理的推论，对任给的，存在,当时.从而内含有中无穷多个点，按定义8为的一个聚点.推论（致密性定理）有界数列必有收敛子列.证设为有界数列.若中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的.若数列不含有无限多个相等的项，则在
