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1、实数的完备性及其应用姓名：***学号：200704010***系别：数学与信息科学系专业：数学与应用数学指导教师：***职称：**内容摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础。可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理，包含六个实数集完备性基本定理。本文通过证明这六个基本定理的等价性，来对实数集完备性基本定理等价性进行系统的论述，让我们获得了对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解。关键词：实数集；完备性；基本定理；等价性；证明;应用。研究背景及意义众所周知，数学分析研究的基本对象是函数及其各分析性质（主
2、要包括连续性，可微性以及可积性），所用的知识是极限理论。极限理论问题首先是极限存在问题。一个数列是否存在极限，不仅与数列本身的结构有关，而且也与数列所在数集有关。如果在有理数集Q上讨论极限，那么单调有界的有理数列就不一定存在极限。例如，单调有界的有理数列就不存在极限，因为它的极限是e，是无理数。由于实数集关于极限的运算是封闭的，是实数集的优点，是有别于有理数集的重要特征。因此，将极限理论建立在实数集上就使得极限理论有了巩固的基础。所以实数集的完备性是数学分析的基础。它在整个数学分析中占据着重要的位置。1实数的完备性定理定理1.1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）
3、确界。定理1.2(单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛．定理1.3(区间套定理） 设为一区间套：1.2.．则存在唯一一点定理1.4(有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖,即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间,它们构成的一个有限开覆盖．定理1.5(聚点定理)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于,也可以不属于）．推论（致密性定理）有界数列比含有收敛子列.定理1.6(柯西准则)数列收敛的充要条件是：,只要恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列．）2实属
4、完备性的证明为了验证实数完备性定理的等价性，我们需要把上述定理循环证明，这样就可以得到实数完备性定理的等价性。3实数完备性的应用实数的完备性在闭区间上连续函数性质的证明以及积分学中都有很广泛的应用我们将通过一系列例题阐述实数完备性定理得应用.认识实数完备性定理得重要作用和地位.例1证明若函数在闭区间上连续,则它在上有界.例2（零点存在定理）若函数在闭区间上连续,且*<0,则一定存在,使得.例3(一致连续性定理)若函数f在闭区间上连续,则f在上一致连续.结束语实数集的完备性是实数集的一个基本特征,它是微积分学的坚实的理论基础.在证明闭区间上连续函数性质的时候,由于实数的完备性
5、定理是等价的,所以可以用任何一个实数的完备性定理证明闭区间上连续函数的性质,只是证明的难度有所区别罢了.在平常的学习过程中我们一定要注重实数的完备性的重要性.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析第三版[M].北京:高等教育出版社,2001[2]陈纪修,於崇华,金路.数学分析第二版[M].北京：高等教育出版社,2004[3]巩增泰.数学的实践与认识[J].西北师范大学数学与信息科学学院,2004[4]李万军.确界定理新证[J].宜宾学院学报,2003[5]刘永健,唐国吉.实属完备性的循环证明及其教学注记[J].时代教育,2009[6]费定晖,敖学圣.基米多维奇数学分析习
6、题集题解[M].济南：山东科学技术出版社，2006[7]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993[8]陈传璋.数学分析第二版[M].北京：高等教育出版社，2007谢谢老师的指导
