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1、3.4.1第2课时用二分法求方程的近似解第3章 指数函数、对数函数和幂函数中央电视台“幸运52”录制现场有奖竞猜问题情境：1.能否求解以下几个方程(1)2x=4-x(2)x2-2x-1=0(3)x3+3x-1=02.不解方程,能否解出它们的近似解？指出：用配方法求得方程x2-2x-1=0的解，但此法不能运用于解另外两个方程。学生活动与讨论学生活动与讨论四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论可得：方程x2-2x-1=0一个根x1在区间(2,3)内， 另一个根x2在区间(-1,0)内1．不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似
2、解（精确到0.1）?xy1203y=x2-2x-1-1由此可知：借助函数f(x)=x2-2x-1的图象，我们发现f(2)=-1<0,f(3)=2>0，这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.画出y=x2-2x-1的图象，如图探究解法四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论思考：如何进一步 有效缩小根所在的区间？学生活动讨论由于2.375与2.4375的近似值都为2.4,停止操作,所求近似解为2.4。数离形时少直观，形离数时难入微！四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论2-3+
3、xy1203y=x2-2x-1-12-3+2.5+2.25--2.375-2-3+2.25-2.5+2.375-2.4375+2-2.5+3+232.52-3+2.5+2.25-22.52.251．简述上述求方程近似解的过程构建数学：x1∈(2,3)∵f(2)<0,f(3)>0x1∈(2,2.5)∴f(2)<0,f(2.5)>0x1∈(2.25,2.5)∴f(2.25)<0,f(2.5)>0x1∈(2.375,2.5)∴f(2.375)<0,f(2.5)>0x1∈(2.375,2.4375)∴f(2.375)<0,f(2.4375)>0∵f(2.5)
4、=0.25>0∵f(2.25)=-0.4375<0∵f(2.375)=-0.2351<0∵f(2.4375)=0.105>0通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解!∵2.375与2.4375的近似值都是2.4,∴x1≈2.4四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论解：设f(x)=x2-2x-1，设x1为其正的零点二分法定义自行探究定义对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的方法叫做二
5、分法。1、函数y=f(x)在[a,b]上连续不断。2、y=f(x)满足f(a)f(b)<0注意：四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论二分法求解方程f(x)=0(或g(x)=h(x))近似解的基本步骤：1．寻找解所在的区间：（1）图象法；困难在哪里？确定第一个区间！四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论归纳总结利用“f(m)f(n)<0,则在(m,n)内必有零点”。（2）函数状态法；2．不断二分解所在的区间；3．根据精确度得出近似解。？例题2：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解（精确到0.1）12xy404y=2x
6、y=4-x1怎样找到它的解所在的区间呢？在同一坐标系内画函数y=2x与y=4-x的图象，如图：提问：能否不画图确定根所在的区间？得:方程有一个解x0∈(0,4)四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论如果画得很准确，可得x0∈(1,2)解：设函数f(x)=2x+x-4则f(x)在R上是增函数，∵f(0)=-3<0,f(2)=2>0∴f(x)在(0,2)内有惟一零点，∴方程2x+x-4=0在(0,2)内有惟一解x0。由f(1)=-1<0,f(2)=2>0得：x0∈(1,2)由f(1.5)=0.33>0,f(1)=-1<0得：x0∈(1,1
7、.5)由f(1.25)=-0.37<0,f(1.5)>0得：x0∈(1.25,1.5)由f(1.375)=-0.031<0,f(1.5)>0得：x0∈(1.375,1.5)由f(1.4375)=0.146>0,f(1.375)<0得：x0∈(1.375,1.4375)∵1.375与1.4375的近似值都是1.4,∴x0≈1.4四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论练习：求方程x3+3x-1=0的一个近似解(精确到0.01)。画y=x3+3x-1的图象比较困难，变形为x3=1-3x，画两个函数的图象如何？四大数学思想：等价转化,函数与方
8、程,数形结合,分类讨论xy10y=1-3xy=x31有惟一解x0∈(0,1)思考题从上海到美国旧金山的海底电
