连续系统的频域分析(I)

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1、第四章傅立叶变换和系统的频域分析电气工程师们总是习惯于通过频谱考虑信号的问题，通过频率响应考虑系统的问题。我们都知道音频信号中可以听到的部分大约有20KHz的带宽，高质量的音响需要对高达20KHz的频域信号做出响应。这基本上都是在频域中思考问题。尤其在通信领域更要从频域思考问题。因此，本章我们要从时域转换到频域，介绍信号的频域表示，系统的频率特性，以及信号通过系统后的响应（零状态）频域表示。激励信号信号频域表示系统的冲激响应响应信号(零状态）系统频域表示响应频域表示频域分析时域分析第二、三章分别讨论了连续时间系统和离散时间系统的时域分析。以冲激函数或单位序列为基本

2、信号，任意信号可分解为一系列冲激函数或单位序列，而系统的响应（零状态）是输入信号与系统冲激响应或单位序列响应的卷积。其中h(t)或h(k)反映了系统的特性。第四、五、六章将分别讨论连续时间系统和离散时间系统的变换域分析。变换域分析的基本思想：将复杂信号分解为基本信号之和或积分的形式，再求出系统对基本信号的响应，从而求出系统对给定信号的响应（零状态响应）。(虚指数函数)为基本信号它是以正弦函数或任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数之和。任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数积分。本章着重讨论连续时间信号的傅立叶变换和连续系统的频域

3、分析。具有一定幅度和相位，角频率为的虚指数函数作用于LTI连续系统时，所引起的响应(零状态响应)是同频率的虚指数函数，可表示为：系统的影响表现为频率响应函数，它是信号角频率的函数，而与时间t无关，用于系统分析的独立变量为，故称之为频域分析。可推出：本章的主要内容:4.1信号分解为正交函数4.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4非周期信号的频谱---傅里叶变换4.5傅里叶变换的性质4.6能量谱和功率谱4.7周期信号的傅里叶变换4.8LTI系统的频域分析4.9取样定理（模拟信号数字化传输的理论基础）4.10序列的傅立叶分析4.11离散傅立叶变换及其性质连续时间

4、信号的频域表示---信号的分解.§4.1信号分解为正交函数一、正交函数集二、信号分解为正交函数为各相应方向的正交单位矢量。它们组成一个二维正交矢量集。矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念相似。（2）正交函数集在区间上的n个函数（非零）……,其中任意两个均满足为常数，则称函数集为区间内的正交函数集。（1）正交函数在区间上定义的非零实函数和若满足条件则函数与为在区间的正交函数。一、正交函数集（3）完备正交函数集之外不存在

5、函数如果在正交函数集满足等式，则称该函数集为完备正交函数集。在区间内组成完备正交函数集。这时因为：称为三角函数集。在区间内组成完备正交函数集。对于所有的m和n。对于复函数:若复函数集在区间满足，则称此复函数集为正交函数集。复函数集在区间内是完备的正交函数集。其中。因为：二、信号分解为正交函数设有n个函数在区间构成一个正交函数空间。将任一函数用这个正交函数的线性组合来近似，可表示为：在中,为求得使均方误差最小的第个系数,必须使由此推得:式中：这是满足最小均方误差的条件下各系数的表达式。如果分解的项数越多则误差愈小。即，均方误差，即在区间内分解为无穷多项之和。§4.2

6、傅里叶级数将周期信号在区间内展开成完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”，统称为傅里叶级数。三角函数集指数函数集一、周期信号的分解二、奇、偶函数的傅里叶系数三、傅里叶级数的指数形式一、周期信号的分解设有一个周期信号，它的周期是，角频率，它可分解为：其中称为傅里叶系数，。那么,傅里叶系数如何求得呢?式中：由上式可见，是的偶函数，是的奇函数，由于是同频率项,因此可将其合并.得到三角型傅里叶级数的简洁形式。式中：则有可见，是的偶函数，即有而是的奇函数，

7、即有一般任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直流分量;一次谐波或基波，它的角频率与原周期信号相同;二次谐波，依此类推，三次，四次等谐波。一般而言称为次谐波，是次谐波的振幅，是其初相角。**结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。例4.2-1将下图中的方波信号展开为傅里叶级数。解：它仅含有一、三、五、七....等奇次谐波分量。如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：TT/20t(a)基波0T/2Tt(b)基波+三次谐波0T/2Tt(c)基波+三次谐波+五次谐波0T/2Tt(c)基波+三次谐波+五次谐波+七次谐波图4.2-3方波的组成（1）级数所取项数愈多

8、，合成波形