探求三角形的外接圆半径及内切圆半径的求解

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1、探求三角形的外接圆半径我们知道任意一个三角形都有外接圆，如何求三角形的外接圆的半径呢？其主要方法是构造直角三角形，利用相似三角形、勾股定理等知识求解。一、特殊三角形1.直角三角形例1．已知：如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5，求△ABC的外接圆的半径r.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。解：∵AB＝13，BC＝12，AC＝5，∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠C＝90°，∴AB为△ABC的外接圆的直径，∴△ABC的外接圆的半径r为6.5.2.等腰三角形例2．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC=10，BC＝12，求△A

2、BC外接圆⊙O的半径r.分析：利用等腰三角形的对称性，相似三角形的相关知识解题.解：作直径AD交BC于点E，交圆于点D，连接BD.∴∠ABD=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D.∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB,∴∠AEB=∠ABD=90°，∴BE=CE=6.∴AE=.∵△ABE∽△ADB，∴∴,∴△ABC外接圆⊙O的半径r为9.二、一般三角形1.已知一角和它的对边⑴锐角三角形例3.已知：如图，在△ABC中，AB＝10，∠C＝60°，求△ABC外接圆⊙O的半径r.分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形.解：作直径AD，连

3、结BD.∴∠D＝∠C＝＝60°，∠DBA＝90°.∴AD＝＝＝∴△ABC外接圆⊙O的半径r为.⑵钝角三角形例4.在△ABC中，AB＝10，∠C＝100°，求△ABC外接圆⊙O的半径r.（用三角函数表示）分析：方法同例3.解：作直径BD，连结AD.则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°∴BD＝＝∴△ABC外接圆⊙O的半径r为.注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.2.已知两边夹一角例5．已知：如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60°，求△ABC外接圆⊙O的半径r.分析：考虑求出AB，然后转化为

4、⑴的情形解题.解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE＝AC＝1，AE＝，BE＝BC－CE＝2，AB＝＝∴AD＝＝＝∴△ABC外接圆⊙O的半径r为.3.已知三边例6.已知：如图，在△ABC中，AC＝13，BC＝14，AB＝15，求△ABC外接圆⊙O的半径r.分析：作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE，利用相似三角形就可以求出直径AD.解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C∴△ADB∽△ACE，∴设CE＝x,∵AC2-CE2＝AE2＝AB

5、2-BE2，∴132-x2＝152-(14-x)2∴x=5,即CE＝5，∴AE＝12∴，∴AD＝∴△ABC外接圆⊙O的半径r为.4.已知两边及第三边上的高例7.已知：如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝6，AD⊥BC，且AD=5，求△ABC外接圆⊙O的半径r.分析：作出直径AE，构造Rt△ABE，利用相似三角形就可以求出直径AE.解：连接AO并延长交圆于点E，连接BE，则∠ABE＝90°.∵∠E＝∠C，∠ABE＝∠ADC＝90°，∴Rt△ABE∽Rt△ADC，∴，∴，∴AE=.总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆的半径.另一种求法

6、：　AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．　　求证AB·AC＝AE·AD．　　即：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商．例1如图1，已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆的半径．　　解由题意知三角形底边上的高为　　　　　　　　　　　　　解从A作AM⊥BC于M，则　　AD2－MD2＝AM2　　＝AC2－(MD＋CD)2．　　即52－MD2＝72－(MD＋3)2．　　　　　　　　　　得R＝14，　　则△ABC外接圆面积S＝πR2＝196π．　　例3如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求①抛

7、物线的顶点坐标；　　②抛物线与x轴的交点B、C的坐标；　　③△ABC的外接圆的面积．　　解①A(2，－9)；　　　②B(－1，0)；C(5，0)．　　　③从A作AM⊥x轴交于M点，　　则BM＝MC＝3．AM＝9．　　　　　　　∴R＝5　　△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π　　在锐角△ABC中，BC＝a、CA＝b、AB＝c，外接圆半径为R．　　　　因此，知道一个锐角和它的对边时，即可用此法求出三角形的外接圆半径，如：　　例4如果正三角形的外接圆半径为6cm，那么这个正三角形的边长a＝______cm．　　解∵正三角形每一个内角为60°．