3任意三角形外接圆半径内切圆半径的求法及通用公式.pdf

《3任意三角形外接圆半径内切圆半径的求法及通用公式.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c外接圆半径为R，（如右图所示）222abc则cos()coscossinsin2abcRb（余弦定理）2b2bRα2b4β而cos，sinR2RRa2a2aR2a4cos，sinR2RR222b2a222RRabcba44即有：2ab2R2RRR2222222abcab(4Rb)(4Ra)即有：2ab2R2222abc2222所以：ab2R()(4Rb)(4Ra)ab2

2、22222224abc2422222即有：(ab)4R(abc)4R()16R4(ab)Rabab22222abc22222222222所以：cR[4()]，即：abcR[4ab(abc)]ababc所以：R(abc)(abc)(acb)(bca)而三角形面积：4S(abc)(abc)(acb)(bca)（海伦公式）abc所以，有：R4S222abca※另一求法，可用正弦定理，即：2R，而cosAsinA2bc所以：aaaabcR

3、2sinA21(cosA)2b2c2a24b2c2(b2c2a2)2221()2bc二、任意三角形内切圆的半径设三角形各边边长分别为a,b,cyy内切圆半径为r，（如右图所示）因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点，cRb所以，会有zxxzaabcrαxyb，解得xα2yzczax2sin21(cos2)显然：rxtan，而tan1cos21cos2222abc而由余弦定理有：cos22ab222abc21()222222a

4、b4(ab)(abc)所以：tan222abc(abc)(abc)12ab2222222222abc4(ab)(abc)4(ab)(abc)即有:r2(abc)(abc)2(abc)(abc)(abc)(acb)(bca)4S2S即：r2(abc)2(abc)abc