阶常系数线性微分方程(III)

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1、§9.3二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性方程二、二阶常系数非齐次线性方程三、n阶线性微分方程解的结构称为二阶常系数齐次线性微分方程,一、二阶常系数齐次线性方程称为二阶线性微分方程．称为二阶齐次线性微分方程．称为二阶非齐次线性微分方程．例如，定义9.4数.则称定理9.1例如,它们是线性无关的．故方程的通解为是方程的通解,所以特征方程的根为特征根的三种不同情况讨论：方程有两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为通过直接验证可知，得齐次方程的通解为是方程的两个线性无关的特解,二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:(

2、1)写出相应的特征方程(2)求出特征方程的两个根(3)根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解例1解特征方程为所以所给方程的通解为例2解特征方程为所以所给方程的通解为例3解方程的特征方程为于是容易得到:方程的通解为方程的通解为方程的通解为即得以上通解均不是周期函数,形如的方程,称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中二、二阶常系数非齐次线性方程通常称方程为方程对应的齐次方程.定理9.2定理9.3是方程的通解.非齐次线性微分方程通解结构为关键：如何求非齐次线性微分方程特解．特点：待定系数法：先确定解的形式，再把形式解代入方

3、程定出解中包含的常数的值，确定待定系数，从而求出方程的特解.例4解对应齐次方程的通解为设所给方程的特解为为待定常数,代入所给方程,得比较同幂次项系数,得于是方程通解为综上讨论，求非齐次线性微分方程特解时例5解对应齐次方程的通解为设所给方程的特解为代入所给方程,有比较同幂次项系数,得于是得方程的通解为例6解对应齐次方程的通解为设所给方程的特解为代入所给方程,有于是得所给方程的通解是例7解对应齐次方程的特征方程为解得于是对应齐次方程的通解为设所给方程的特解为于是,得所给方程的通解是代入所给方程,有n阶线性微分方程的一般形式为三、n阶线性微分方程

4、解的结构称之为n阶齐次线性微分方程，简称齐次线性方程.称为n阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性方程，定义9.5使得等式定理9.4则定理9.5则也是方程的解,是方程的通解,定理9.6则例如，故它们在整个数轴上是线性相关的．是非齐次线性方程的通解.定理9.7的特解.则是非齐次线性方程的通解.n阶常系数线性微分方程的一般形式为其对应的特征方程为n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为根据特征方程的根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解n阶非齐次线性微分方程的特解求法例8解对应齐次方程的特征方程为解得于是对应齐次方程的通解为设所给方程的特解为

5、代入方程有比较系数,得于是从而得到所给方程的通解