阶常系数非齐次线性微分方程(I)

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1、第十章微分方程第九节二阶常系数非齐次线性微分方程如果二阶线性微分方程为y+py+qy=f(x)，其中p、q均为常数，则称该方程为二阶常系数线性微分方程.f(x)称为自由项，当f(x)不恒等于0时，称为二阶常系数线性非齐次微分方程，当f(x)恒为0时，称为二阶线性齐次微分方程.定理如果函数y*是常系数线性非齐次方程y+py+qy=f(x)的一个特解，y=Y+y*，是常系数线性非齐次方程的通解.Y是该方程所对应的常系数线性齐次方程的通解，则前面我们介绍了下面的定理面：因此求二阶常系数线性非齐次方程通解的

2、一般步骤为：(1)求常系数线性齐次方程y+py+qy=0的线性无关的两个特解y1与y2，得该方程的通解(2)求常系数线性非齐次方程y+py+qy=f(x)的一个特解y*.那么，方程的通解为y=Y+y*.Y=C1y1+C2y2.下面只介绍当非齐次项f(x)取以下两种特殊的函数形式时，如何求特解：二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构其中难点：如何求特解？方法：待定系数法.一、型设非齐方程特解为代入原方程综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.特别地例1求方程y+y

3、+y=2e2x的一个特解.解a=2它不是特征方程r2+r+1=0的根，取k=0，则代入方程，得故原方程的特解为所以，设特解为.B72=提示因为f(x)Pm(x)ex3x10不是特征方程的根所以非齐次方程的特解应设为y*b0xb1把它代入所给方程得例2求微分方程y2y3y3x1的一个特解解齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30[b0xb1]2[b0xb1]3[b0xb1]3b0x2b03b12b03b0x3b1

4、3b0x2b03b13x1提示3b032b03b11特解形式解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例3利用欧拉公式注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.解对应齐方通解作辅助方程代入上式所求非齐方程特解为原方程通解为（取虚部）例4解对应齐方通解作辅助方程代入辅助方程例5所求非齐方程特解为原方程通解为（取实部）注意三、小结(待定系数法)只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.思考题写出微分方程的待定特解的形式.思考题解答设

5、的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根）