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《隐函数及由参数方程所确定的函数的导数(II)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、13.4隐函数及由参数方程所隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率小结思考题作业确定的函数的导数相关变化率21.隐函数的定义一、隐函数的导数称为隐函数(implicitfunction).y=f(x)的形式称为显函数.隐函数的可确定显函数例开普勒方程开普勒(J.Kepler)1571-1630德国数学家,天文学家.的隐函数客观存在,但无法将y表达成x的显式表达式.显化.由二元方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)y关于x2.隐函数求导法隐函数不易显化或不能显化？如何求导3.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率用复合函数求导法则直接对方程两边求导或微分.
2、例1解解得求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数从中解出即可.于是y的函数便是x的复合函数,的方程.y是x的函数,6设函数y=f(x)由方程所确定,则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是().考研(数学二)填空,4分解将方程两边求微分,得再将点(1,1)代入上方程,得切线方程为即隐函数练习例3解8例解将方程两边求微分,得用复合函数求导法则,注意变量y是x的函数.解得93.对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用,(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数.对数求导法,适用于方法先在方程两边取对数,--------对数求导法然后利用隐函数
3、的求导法求出导数.介绍例4解等式两边取对数得例5解1等式两边取对数得12解2等式两边取对数,得再将上式两边求微分,得于是13则解314练习解等式两边取对数,得上式两边对x求导,得3.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一般地16解练习等式两边取对数,得上式两边对x求导,得17二、由参数方程所确定的函数的导数如?(parametricequation)参数方程称此为由参数方程所确定的函数.消参数困难或无法消参数如何求导消去参数t.确定y与x间的函数关系,所以所以18都可导,所以所以即或者参数方程的求导公式.19例解所求切线方程为所以20解练习考研数学二,填空4分的点处的法
4、线斜率为故曲线在切线斜率为所以2122如:注求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义,这样对求更高阶的导数也容易处理.23解练习3.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率星形线24例解将曲线的极坐标方程转换成则曲线的切线斜率为所以法线斜率为又切点为故法线方程为即参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助参数方程处理问题的方法,在高等数学中将多次遇到.25x=x(t),y=y(t)为两可导函数x,y之间有联系之间也有联系称为相关变化率解法三步骤:找出相关变量的关系式对t求导相关变化率求出未知的相关变化率三、相关变化率相关变化率.之间的关系式代入指定时刻的变量值及已知变化率,(
5、1)(2)(3)26例解(1)(2)仰角增加率(3)一气球从离开观察员500米处离地面铅直上升,其速率为140米/分.当气球高度为500米时,观察员视线的仰角增加率是多少?设气球上升t秒后,其高度为h(t),两边对t求导得高度与仰角的关系27水面例解桥面20mxy(1)在此人的正下方有一条小船以的速度在与桥垂直的方向航行,求经5s后,人与小船相分离的速度.对t求导(2)(3)设经t秒钟后人行走距离为xm,船航行距离为ym,船与人的距离为zm,3.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率28练习设自开始充气以来的时间t,解体积为在t时刻气体的半径为设气体以100立方厘米/秒的
6、速度注入球状的气球,求在半径为10厘米时,气球半径增加的速率(假定气体压力不变).气球半径与体积的关系29四、小结隐函数求导法则:对数求导法:对方程两边取对数后,再将方程两边微分.参数方程求导:将方程两边求微分.用公式.相关变化率:通过函数关系确定两个变化率之间的关系,解法:三个步骤.从其中一个变化率(已知)求出一个变化率;30思考题(是非题)正确解答:试问:对吗?非31作业习题3.4(75页)
