【教学设计】《变化率问题》(人教A版)

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1、《变化率问题》◆教材分析本节是导数及其应用的第一节,教科书从平均变化率开始,用平均变化率探求瞬时变化率,并给予各种不同变化率在数量上的精确描述,即导数。◆教学目标【知识与能力目标】1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率。【过程与方法目标】不仅让学生在数学知识的量上有所收获,而且能够体会其中蕴涵的丰富的思想,逐渐掌握数学研究的基本思考方式和方法。【情感态度价值观目标】感受数学与生活的联系,获得积极的情感体验。◆教学重难点◆【教学重点】平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均

2、变化率。【教学难点】平均变化率的概念。◆课前准备◆多媒体课件。◆教学过程(一)、创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一

3、个变量变化的快慢程度。(二)、探究新知,揭示概念实例一:气温的变化问题现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图:(注:3月18日为第一天)1、你从图中获得了哪些信息?2、在“4月18日到20日”,该地市民普遍感觉“气温骤增”,而在“3月18日到4月18日”却没有这样的感觉,这是什么原因呢?3、怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢?师生讨论,教师板书总结:分析:这一问题中,存在两个变量“时间”和“气温”,当时间从1到32,气温从3.5oC增加到18.6oC,气温平均变化当时间从32到34,气温从18.

4、6oC增加到33.4oC,气温平均变化因为7.4>0.5,所以,从32日到34日,气温变化的更快一些。【教师过渡】:“表示时间从“3月18日到4月18日”时,气温的平均变化率。提出问题:先说一说“平均”的含义,再说一说你对“气温平均变化率”的理解。实例二:气球的平均膨胀率问题。【提出问题】:回忆吹气球的过程,随着气球内空气容量的增加,气球半径增长的快慢相同吗?学生思考回答。假设每次吹入气球内的空气容量是相等的,如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加,气球半径增长的越来越慢”这一现象呢?思考:1、这一问题与“气温的变化

5、问题”有哪些相同的地方?你打算怎样做呢?2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加,气球半径增长的越来越慢”这一现象呢?先独立思考,再在小组内交流你的想法。学生讨论,小组交流,教师巡视。学生充分讨论后,指名不同学生上台演示交流。【教师过渡】:“在小组交流中,同学们采用了不同的方法解决这一问题,一部分从图形的角度入手,另一部分通过计算进行具体的量化,下面我们借助Excel的自动计算功能与插入图表功能来研究这一问题。”(1)、观察表格,你发现了什么?(教师操作,Excel演示)(2)、观察图象,你发现了什么?(教师操作,

6、Excel演示)3、当空气容量从V1增到加V2时,气球的平均膨胀率是多少?讨论得出:实例三:高台跳水运动【学生思考】:在高台跳水运动中,ts时运动员相对于水面的高度是h(t)=-4.9t2+6.5t+10。1、运动员在每段时间内的速度是匀速的吗?2、分别计算运动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2这两段时间里的平均速度。3、当时间从t1到t2时,运动员的平均速度是多少?(三)、分析归纳,抽象概括【教学活动】:针对下面三个实例,教师引出问题:“我们通过观察图象得出了气温的平均变化率、通过分析表格,得出气球的平均膨胀率、通过分析解析式

7、,得到了运动员的平均速度”。(幻灯出示)1、实例一:在气温的变化问题中,当时间从t1到t2时,气温的平均变化率=2、实例二:在气球的半径变化问题中,当体积从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率=1、实例三:在高台跳水问题中,当时间从t1到t2时,运动员的平均速度=【学生思考】1.上述三个问题,有什么共同特征?2.你能归纳出分析此类问题的一般方法吗?3.下图中函数从x1到x2的平均变化率怎样计算?4.说一说求函数”平均变化率”的步骤是什么?5.这个式子还表示什么?由此你认为平均变化率的几何意义是什么?讨论得出:1.上述问题中的变

8、化率可用式子表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率;2.若设,(这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样);3.则平均变化率为。(四)、知识应用,深化理解例1.已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则。解:,∴例2.求在附近的平均变化率。解:,所以所以在附近的

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