行列式计算方法

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1、计算行列式方法的简单归纳摘要：行列式是线性代数的重要内容，它在计算机科学、经济学、管理学等很多方面都有重要的应用。掌握其计算的方法是深刻了解它的关键，本文将简要的概括计算它的一些常用方法。其中对于复杂的行列式，总是将其转化为熟悉的三角行列式、低阶行列式等来进行计算。关键词：行列式、计算方法、转化、三角行列式、低阶行列式。1行列式的定义及相关性质1.1行列式的定义数学中的逻辑推理过程都是建立在定义之上的，要了解行列式的计算方法，掌握其定义是至关重要的。行列式的定义对计算有着关键性的作用，首先定义行列式。将个数排成n行n列，记其中是1，2，…n的排列，t是排列的逆序数,表示对1，2，…n所有排列（

2、共n!个）求和。称式上式左边为n阶行列式，右边为n阶行列式的展开式，称为n阶行列式中位于第i行第j列位置上的元素。1.2行列式的性质在计算行列式时，必然会应用到行列式的性质，下面简述行列式的一些基本性质。a.行列式的值与它的转置的行列式的值是相等的。b.对换行列式的某两行的位置，行列式的值变号，对换两列也同样变号。当行列式某两c.行或列的对应元素相等时，行列式的值为零。d.行列式某一行或列的所有元素的公因式K可以提到行列式符号外。特别地，行列式某行元素全是零时行列式的值为零，行列式某两行成比例时，行列式的值也是零。e.若行列式某一行（列）的每一个元素都可以写成两个数的和时，其值等于两个行列式的

3、和，这两个行列式分别以这两组数作为其相应的行（列），其余各行（列）的元素等于原行列式。f.把行列式的某一行（列）的元素乘以相同的数加到另一行（列）上，行列式的值不变。2.计算行列式的常用方法2.1用定义直接计算。按照行列式的定义进行计算的方法称为定义法。按照行列式的定义，展开项数为的阶层个项，其中每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积，求和时只要找出非零的项就行，所以，如果行列式中有较多的零元素，则它的展开项中非零项就较少，这种类型的行列式通常很实用定义法的计算。例1.二阶行列式解析：根据n阶定义行列式的定义，上式的值是两项和的代数和，根据定义很容易确定它们的符号分别为正和负，则行列式的值为。

4、例2.求四阶行列式的值。解析：根据定义，行列式是24项的代数和，然而这个行列式里除了，，，外，其余的项智商都有一个零因子，因而为零。确实这四项的符号后，则行列式的值为.。例3行列式的值为。解析：根据行列式的定义，此行列式是24项的代数和，但除了这一项外，其余项都含有零因子，容易确定的符号为正，则次行列式的值为。像例3这种类型（主对角线以上的元素全是零）的行列式，叫做下三角行列式，同理也有上三角行列，即主对角线以下全是零的行列式。对于上三角行列式：，根据行列式的定义，展开项的一般形式为在行列式中，n行的元素除了以外全为零，因此，只要考虑的那些项。在行中，除了第列的元素外，其余项都为零，因此只能为

5、。这样逐渐的递推下去，除了这一项外，其余的项都为零。又因为这一项的列下标的排列是偶排列，所以，这一项带正号。于是=对于下三角行列式，同理有所以，上三角行列式和下三角行列式的值都等于对角线上所有元素的乘积。例4计算行列式的值。解：行列式中不为零的一般项为，这些项中列的排列为，这个排列的反序数为，则行列式的值为。2.2化为上下三角形行列式进行计算。这种方法即是：在计算行列式时，运用行列式的性质将行列式化为三角形的行列式进行计算。例5.计算行列式的值。解：将行列式的第一行乘以（—3）加到第二行，将第一行乘以（—1）加到第三行，则得到。例6计算行列式的值。解：交换第一和第四行得：，第一行乘以-1加到二

6、和三行得：，又将第二和三行加到第四行得=3例7计n阶行列式。解：观察可知道这个行列式的每一行（列）的元素之和都是相等的，根据行列式的性质，把行列式的后面n-1列全部加到第一列得：===。2.3按行列展开法。一般来说，低阶的行列式比高阶的行列式容易记算，此法本质上是将高阶的行列式展开为低阶的行列式进行计算。依行依列展开时，用的到元素代数余子式。元素的代数余子式是化掉该元素所在的行和列多得的行列式在乘以。行列式D按行展开的公式，按列展开的公式是。例8计算行列式。解：依第一列展开得：=12—39=—27例9计算行列式的值。解：此行列式有较多的零，按第一列展开得===例10求行列式的值。解析：设该行列

7、式为D这个行列式中有很多零元素，观察到按第一列展开后可以得到两个三角型行列式，所以按第一例展开后可得D==上述的三种方法是计算行列式的基本方法，他们之间不是孤立存在的，相互之间有一定的渗透。在计算行列式时往往都会总会各种方法，选择比较简单的方法来进行计算。在选择方法时，一定要仔细的观察行列式的特点，根据它的特点来选择。有些高阶较复杂的行列式，运用上述的三种方法不易计算，这时需要用到较复杂些的方法，