基于对偶变数法求解二重积分的新方法

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1、
第29卷第2期




佳木斯大学学报(自然科学版)

Vo.l29No.2
2011
年03月


JournalofJiamusiUniversity(NaturalScienceEdition)
Mar.
2011文章编号:1008-1402(2011)02-0292-02
基于对偶变数法求解二重积分的新方法王永涓,
敖
东(成都理工大学,四川成都610059)摘
要:
依据对偶变数法求定积分的理论,提出以减小用蒙特卡罗方法求定积分的方差为目的的求解二重积分的新方法,并通过一系列证明,证明该方法的正确性.最后通过数值模拟验证该方法对求解二重积分的精度明显高于其

2、他的蒙特卡罗模拟方法.同时该法的提出也对用数值计算求积分的精确性做出一定的贡献.关键词:
蒙特卡罗方法;对偶变数法;单调性;负相关中图分类号:
O211.5



文献标识码:
A2
0
引
言
,D[g(X)]<.2[1]1蒙特卡罗方法(MonteCarlomethod)是一类证明:
因为g(x)=[f(x)+f(1-x)],随2通过随机变量的统计实验,随机模拟求解数学物机变量X~U(0,1)则随机变量g(X)的期望理,工程技术问题近似解的数值方法.在利用蒙特1卡罗方法求定积分过程中为了最大限度的接近积E[g(X)]={E[f(X)]+E[f(1-X)]}=
2分的

3、真实值,我们常常考虑通过降低方差来实现.其方差为:为此前人提出了很多方法,而对偶变数法就是其中1一种.文章主要是在对偶变数法的理论基础上,给D[g(X)]=D[f(X)+f(1-X)]4出了求解二元单调函数定积分的理论方法,并利用122数值模拟说明该方法精度优于求解同一单调函数=[
+
+2Cov(f(X),f(1-X))](1)4的其他蒙特卡罗模拟方法.又因为f(x)是(0,1)上的单调函数,则f(X)与f(11
计算定积分的对偶变数法理论-X)负相关,即
<0.因为Cov(f(X),f(1-X))2=

代入(1),得蒙特卡罗模拟的精度为
/N,同时以o(1/12

4、222

D[g(X)]=[2
+2

]=(1+
)

5、.在用对12机变量X~U(0,1)且
f(x)dx=
,D[f(X)]=
偶变数法求定积分的启示下,产生将该理论方法引0入计算二重积分的想法.在二元函数存在单调性的1令g(x)=[f(x)+f(1-x)],则对随机变条件下,构造二元函数g(x,y)并使随机变量g(X,21Y)的期望与原函数f(x,y)的积分相同,同时随机量g(X)=[f(X)+f(1-X)],有E[g(X)]=2变量g(X,Y)的方差也尽可能的小,于是有下面的
收稿日期:2011-02-16作者简介:王永涓(1985-),男,陕西周至县人,在读硕士,主要从事数值计算研究.第2期王永涓,等:基于对偶变数

6、法求解二重积分的新方法293方法.+f(1-X,Y)+f(1-X,1-Y)]2定理2
设f(x,y)是D=(0,1)
(0,1)上
=[1+
1+
2+
3]的单调函数,随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布42其中且

f(x,y)dxdy=
,D[f(X,Y)]=
,令Cov(f(X,Y),f(1-X,1-Y))D
1=21
g(x,y)=[f(x,y)+f(x,1-y)+f(1-x,y)4Cov(f(1-X,Y),f(X,1-Y))=2+f(1-x,1-y)]
随机变量Cov(f(X,Y),f(1-X,Y))
2=21
g(X,Y)=[f(X,Y)+f(X,1-Y

7、)+f(1-X,Y)4Cov(f(1-X,Y),f(1-X,1-Y))=2+f(1-X,1-Y)]
12Cov(f(X,Y),f(X,1-Y))则期望E[g(X,Y)]=
,方差D[g(X,Y)]<

3=22
证明:
因为Cov(f(1-X,Y),f(1-X,1-Y))=21
g(x,y)=[f(x,y)+f(x,1-y)+f(1-x,y)4因为f(x,y)是区域D内的单调函数,则
1<0,又+f(1-x,1-y)]因为

8、
i

9、
1(i=1,2,3),同时
i<

10、
1

11、(i=2,2随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布,则随机变量
123),故[1+