多维指数分布的矩和矩母函数

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1、烟台大学学报(自然科学与工程版)ournaoantaiuniversaturaeneeannneern.19961期JlfYity(Nl余idEgiig)No]1996年第多维指数分布的矩和矩母函数傅自晦陈永义,(烟台大学数学系烟台264005)_.:e一摘要得到多维指数分布的矩“耳:X,和矩母函数“n几气从的明显表达式.关键词多维指数分布矩母函数021.3中图分类号,在可靠性数学理论和排队论等应用概率领域中一维指数分布长期以来一直占据极其重要的地位,50,.年代以来人们开始探索一维指数分布向多维分布的推广所谓多维指数分.1956〔’〕,1

2、960布是指其各个边际分布均为一维指数分布的多维概率分布年Morgenstern年,,Gumbl]各提出了一类二维指数分布而且不难将这两类指数分布从二维推广到任意:维沙,,.但是这些分才井无什么实际背景因而未得到更深入的研究arsan[’1,,ro1967年Mhll和olki由冲击模型导出T一类多维指数分布此后他们及助lw和Proschan等继续研究了这类多维指数分布的性质、·[51,推广及其在可靠性理论中的应用[’]此类分布不仅有明显的实际背景,从而有广泛应用,而且具有许多优良的概率性质,我们下面所研究的多维指数分布即指此类分布.,Mar

3、shal和olkin在文献[3」中得到了二维指数分布的矩母函数Ee一‘战十的和矩EXI的表示式.对多维情形,由于矩母函数E耳e一罕‘的计算较复杂,他们代之而求得了较简单的.·Ee一“Ee一“Ex且(1一勺的表示式在本文中求得了矩母函数且六和矩n》的明显表示式n维指数分布的定义,。:按照文献[3〕维指数分布定义如下,,Z,,二,定义l若(xx⋯x)为随机向量其联合生存概率有,,·,,,,,.万(x,22x)1x.x:xZXx⋯一只(义>>⋯>)一exp{入x‘一入jmax(:.,x,)一一乙云11‘

4、(:z,x.)“,2⋯max二,xZ:艺一(⋯)}(1)】蕊.<7<几成.一:收稿日期1995一01一19:l期傅自晦等多维指数分布的矩和矩母函数,2.,:,,,,,:⋯、】:<‘:.<‘二,、:“的形式其中妻ol镇‘簇则称(xl凡⋯X)服从参数为{勺}“<.万。的,.维指数分布其中诸参数均非负,,2,,r,,,:,,,,,设指标集I一{i1⋯i}仁{12⋯}记1~{12⋯时一I,,c一尸中元的一切可能的组合(包含空集必),,,:aJil:.’.’令~({为⋯爪时任c,}(2):,,:,,,,,其中{j⋯j}仁{‘⋯￡}1(t簇二二维指数分

5、布的边际生存概率的一般表示式为,···,,exax二,:,:了(x‘:⋯、)“:‘,’)一p{一凡m(⋯i’)}(3)(一习习习I矛,·,‘,,;⋯人〔(‘一一亏》c,一夸功人<一<人:维指数分布函数可用其生存概率函数表示为(二:⋯x.)二,,,·r二)一i+‘:,,·(⋯()F‘、:x⋯)(:’‘:‘l.习一习xl.“)(4)fl.一二‘il<任<~<乍‘:特别地有一维和二维边际生存概率函数,ex二‘.了性了、‘、产、.万、一p{一习凡}、丹Db,任弓,,.、)(二。)一凡二一凡ax二‘、瓦.xj{一。一凡m()}exP习名习,,,,J,

6、。奋几弓{2矩和矩母正数,::元连续函维指数分布的概率分布函数和生存概率函数都是数但不是绝对连续函.,se数文献【3〕中得到了二维指数分布的生存概率的Lebegu分解式利用此分解式不难求出.,,,对于高维情形gue分解式很麻烦二维指数分布的矩和矩母函数但是求其Lebes即使得到,.分解式利用它来计算矩母函数和矩也非易事下面我们沿用[3]中提供的化Lebesgue一u。,,,Stieltg得到了娜积分为较简单的Le腼积分的方法借助于如下引理维指数分布的矩母.,,..,,E(e一气Ex》,2:x1、,函数且x.)和矩IT的明显表达式记价一{(x

7、⋯))0簇镇}有‘=l夕=I:,,,x,,:,,,x,弓I理设r(⋯)是支撑为舞的维随机向量的联合分布函数J(⋯)是其,相应的生存概率函数则..,,.1二。xp(一‘:‘)x,:卜{d;(⋯)-交JJ‘=,心·Jr十。lex‘.二·二.,‘·z】x仆J刀p(一习)F()d⋯“一(7)一J户J.,·(x))z,‘2.IIITdF(一)一心·J产十·‘,’间I(一’),d‘,”“朴J刁n略取一x.)x.(8)·由Fubini定理不难证明引理的结论A,,,,Z,,,:,2:,,,,:,记一(j}U{(jJj⋯j)J+工簇j<夕<⋯<办镇l簇簇一j

8、}1镇j成一1·24·烟台大学学报(自然科学与工程版)1996年,.;,1。,:,一凡(,簇A={}艺口e月J,J一,‘2⋯‘,.显然习习习入一久J=l,二11l<‘:<~<、‘