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《06第六讲 利用导数证明不等式及导数应用题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、Mathtriones同方教育TeacherXia第六讲：利用导数证明不等式及导数应用题一、证明不等式1．当时,证明成立.证：(1)变形:,这是对数函数的增量形式令(2)在应用拉格朗日中值定理:(3)故有证毕！2．证明:成立证：(1)构造辅助函数,令(2)在应用拉格朗日定理:(3)对于的情形,同理可证.证毕3．证明:当时,有成立.证：(1)构造辅助函数：∴令(2)在应用拉格朗日中值定理,(3)是单调增函数，故有,证毕4．当时,证明成立.证：(1)令(2)在单调减少(3)在单调减少,且故当时,6Matht
2、riones同方教育TeacherXia证毕5．当时,证明成立.证：(1)变形,令(2)令且从而在单调减少(3)∵且=0即有成立6．当时,证明成立.证：(1)变形，令(2)(一阶导数符号不易判定,借助)=单调增，且单调增加(3)在单调增,且,故有证毕7．当时,证明:成立.解：(1)令(2)令,驻点(3)，为极小值点.由单峰原理,是最小值点最小值故有,即6Mathtriones同方教育TeacherXia证毕8．设,证明成立.证：(1)令(2)驻点(3)(4)比较上述函数值的大小:故有,即证毕9．证明:当
3、时,有.证：(1)令(2),在单调增加(3)由,得从而有证毕二、证明方程根的个数10．证明:当时,方程仅有一个实根.证：(1)令单调增,故最多有一个实根(2)是一元五次方程至少有一个实根(3)综上所述:有且只有一个实根.证毕11．证明方程只有一个正根.证(1)单调增故最多有一实根(2)在连续且6Mathtriones同方教育TeacherXia∴由零点定理知:至少有一个正根.（3）综上所述:只有一个正根12．证明方程:有且仅有两个实根.解：(1)令在连续且∴由零点定理知:在至少有一个实根同理:=0在至少
4、有一实根总之,=0在至少有两个实根(2)=0是一元二次方程,最多有两个实根．(３)综上所述：=0有且仅有两个实根13．设常数证明方程,在内有且仅有两个正根.证：(1)令(x>0)(2);令驻点<0,为极大值点.由单峰原理:是最大值点最大值且,故与轴有且仅有两个交点(如示意图)即在有且只有两个实根.三、应用题（每小题10分，共50分）14．已知曲线.（1）求曲线在横坐标为的点处的切线方程.（2）求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度.解：(1)求切线方程:切点6Mathtriones同方教育Teache
5、rXia切线方程:即(2)令令(3)令(4)最小值15．在半径为R的半径内作一个圆柱体,求最大体积时的底半径与高.解：(1)画出示意图(2)依题意,设所求圆柱体体积为V(3)求驻点,令,,驻点（4）求最值点:,为最大值点答:当,时,所得圆柱体体积最大16．某客轮每小时消耗燃料的费用速度的立方正比,若该客轮从甲城到已城沿江逆流而上,设水流速度为每小时公里,求客轮最经济的速度?解：(1)列出函数关系式:设从甲城沿江到乙城的路程为.消耗总费用为.依题意:,其中是甲城到乙城所需要的时间(2)求驻点:令,驻点6M
6、athtriones同方教育TeacherXia(3)求最值:由实际问题的意义知道:最小值存在,且驻点唯一,当时,客轮消耗燃料总费用最省.17．欲做一个容积是3000的无盖圆柱形的蓄水池,已知池底单位面积造价为池壁单位面积的3倍,问蓄水池的尺寸怎样设计,才能使总造价最低?解：(1)列出函数关系式:设池底半径为,池高为,池壁单位面积造价为元,总造价为,依题意:(2)求驻点:令,驻点(3)求最值:,当时,总造价最省.(4)当时,答:当时,总造价最低.18．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形,把留下的中心角
7、为取多大时,做成的漏斗的容积最大?解：(1)列出函数关系式:设漏斗体积为V依题意:,,(2)求驻点令=0.,驻点又(3)求最值由实际问题意义知道:漏斗最大容积存在,且驻点唯一,当时,漏斗的容积最大.6
