初中数学竞赛专题培训(27)列方程解应用题问题中的量和

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1、鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练初中数学竞赛专题培训　第二十七讲列方程解应用问题中的量学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2D第3页咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师）鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练　　列方程解应用问题时，比较困难的一环常常是同学们不知如何着手去找等量关系．又由于应用问题类型繁多，等量关系千变万化，什么工程问题，行程问题，浓度问题，等等，如果每一种问题都来考查一下找等量关系的规律，这

2、不仅太繁杂，而且罗列也不是真正的概括．那么根据什么原则来找出应用问题中的等量关系、列出方程呢？　　为此，我们必须先对“量”做个基本的分析和介绍，只有对量有了比较明确的认识，才便于了解“等量”，那么找等量关系也就有了依据．所谓“量”就是表现物体属性的一个侧面．例如拿一根金属棒来说，为了弄清它的性状，就要知道这根金属棒的重量、长度、体积、密度、比重、价格，等等，这些方面都是从一定的侧面来表现物体不同属性的，这就是所谓的量．　　一般说来，常用的量基本上可以分为两大类．例如，一群羊、一堆蛋等，因为它们具有天然的个别单位，所以处理这种量只要数一数它们的个数1，2，3，…

3、就可以了．这种量我们称它为分离量，分离量的特点是可数的．另一种量，例如一根绳子的长度，一桶水的重量等，长度和重量这种量虽然不具有天然的个别单位可数，但这种量的基本特点是它们可以无限细分，因此我们可以选取人为的单位去度量它们．比如，度量长度，我们可以选用米或厘米作为长度单位；度量重量，我们可以选用千克或克等作为重量单位．取定了度量单位之后，就可以度量这种量的多少了．我们称这种量为连续量，它的一个基本特点是可以度量．　　在连续量之中，例如长度、面积、体积、重量、时间等等，这些量既可以细分又可以广延，我们称这种量为外延量．连续量中的另一类是由两种外延量之比产生出来的

4、，用以表示“强度”，这种量称为内涵量．例如表示单位面积上承受多少压力的“压强”就是一个内涵量．这是因为　　它是由两种外延量(压力和面积)之比得来的．　　如果把内涵量再分类，又可以分为两种，其中一种是由不同种外延量之比产生的量，我们称它为度．例如　　等等都是度．　　另外一种内涵量是由两个同种外延量之比得来的，我们称它为率．例如　　等等都是率．　　这样，可以把常见的量的分类归纳如下：　　我们对量有了一定的了解之后，从量的种类入手，找等量关系，就有了可以遵循的基本原则和方法了．　　第一，因为分离量不能和连续量相等，外延量不能和内涵量相等，度不能和率相等，因此，等量关

5、系只能在同种量中寻找，即分离量=分离量，外延量=外延量，度=度，率=率．　　第二，因为分离量和外延量是可加的，所以如果要确定分离量或外延量的某种相等关系，便可以利用“全量=部分量之和”(它的推理是“部分量=全量的一部分量”，“部分量之和=部分量之和”，特例是“全量=全量”)的原则．　　第三，因为度和率是两种外延量之比，如果要确定的是度或率的某种相等关系，只须找到同一个度或率的两种不同表达式，然后用等号连接起来就可以列出方程了．我们把这种思考方法叫作度或率的等比表示法．　　下面通过几个实例来说明上述原则和方法的运用．　　例1设A，B两地相距82千米(km)，甲骑

6、自行车由A向B驶去，9分钟(min)后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2千米的速度向A驶去，两人在距B地40千米处相遇，问甲乙的速度各是多少？　　分析与解首先我们列出题中的各种已知量和待求的量：　　(1)A，B两地的距离是82千米；　　(2)甲乙两人相向而行，甲比乙先行9分钟；学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2D第3页咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师）鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练　　(3)每小时乙比甲多走2千米；　　(4)两人相遇地点距B地40千米

7、；　　(5)求甲乙的速度．　　其次，就要设一个适当的未知量，并把它看作“已知量”，根据题中所给的条件，把已知量和未知量联系起来，找等量关系列方程．为此，我们可有不同的思考方法．　　第一，可以从外延量考虑等量关系．本题中，时间、距离都是外延量．比如，我们考虑时间这个外延量，那么如何找出本题中有关时间的一个等量关系呢？因为甲乙中途相遇，那么自然要问甲由A出发到与乙相遇走了多少时间？乙由B出发到与甲相遇走了多少时间？这两者又有什么关系？联系已知条件，利用全量=部分量之和可知　　甲由A出发到遇到乙的时间=乙由B出发到遇到甲的时间+9分钟，①　　又考虑到　　如果设甲的速

8、度为x千米/小时(km/h)，那么乙的