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《2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2017年全国高中数学联合竞赛一试(B卷)一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分，共64分.120111.在等比数列{an}中，a2J2,a3褥，则aa的值为.a7a20172.设复数z满足z910z22i,则
2、z
3、的值为.3.设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)x2是奇函数,f(x)2x是偶函数，则f(1)的值为.4.在ABC中，若sinA2sinC,且三条边a,b,c成等比数列，则cosA的值为.5.在正四面体ABCD中，E,F分别在棱AB,AC上，满足BE3,EF4,且EF与平面BCD平行,则DEF的面积为.6.在平面直角坐标系xOy中，点集K{(x,y
4、)
5、x,y1,0,1},在K中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.7.设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线x2ay2a20的焦距为4,则a的值为.8.若正整数a,b,c满足201710a100b1000c,则数组(a,b,c)的个数为.二、解答题(本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)9.设不等式
6、2xa
7、
8、52x
9、对所有x[1,2]成立，求实数a的取值范围.10.设数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn20冏2a2,n1,2,L.（1）证明：数列{bn}也是等差数列；（2）设数列{an}、{b
10、n}的公差均是d0，并且存在正整数s,t，使得asbt是整数，求
11、a1
12、的最小值.22211.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1:y4x,曲线C2:（x4）y8,经过Ci上一点P作一条倾斜角为45o的直线l,与C2交于两个不同的点Q,R,求
13、PQ
14、
15、PR
16、的取值范围2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）、（本题满分40分）设实数a,b,c满足abc0,令dmax{a,b,c},证明：(1a)(1b)(1c)1d2二、（本题满分40分）给定正整数m,证明：存在正整数k,使得可将正整数集N分拆为k个互不相交的子集A,A2,L,A,每个子集A中均不存在4个数a,b,c
17、,d（可以相同），满足abcdm.、（本题满分50分）如图，点D是锐角ABC的外接圆上弧BC的中点，直线DA与圆过点B,C的切线分别相交于点P,Q,BQ与AC的交点为X,CP与AB的交点为Y,BQ与CP的交点为T,求证：AT平分线段XY.四、(本题满分50分)设ai®,L©0{1,2,L,5},“EL益。{1,2,L,10},集合X{(i,j)1ij20,(aia)。bj)0},求X的元素个数的最大值一试试卷答案{an}的公比为qa33a1a2011ala2011解：数列忖故aq(a1a2011)a27a20172.答案:、.5解：设zabi,a,bR,由条件得(a
18、9)bi10a(10b22)i,比较两边实虚部可得10a2i,进而
19、z
20、、5.,解得：ab10b221.答案:3.答案：7..1解：由条件知，f(1)1(f(1)(1)2)f(1)1f⑴2f(1)2两式相加消去f(1),可知：2f(1)即f(1)4“24.答案：—4sinA——解：由正弦定理知,2,sinC是a:b:c2:J2:1,从而由余弦定理得:22八bc(.2)21222cosA------------2bc5.答案：2底解：由条件知，EF平行于BC,因为正四面体ABCD的各个面是全等的正三角形，故AEAFEF4,ADABAEBE7.由余弦定理得，DEJAD2
21、AE22AD?AE?cos60o.491628J37,同理有DF.37.作等腰DEF底边EF上的高DH,则EH1EF2,故DH《DE2EH2标,2于是SDEF1EFgDH2.33.22.21,56.答案：—143解：注意K中共有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为C984种,当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：(1)三点在一横线或一纵线上，有6种情况，(2)三点是边长为1,1,J2的等腰直角三角形的顶点，有4416种情况，(3)三点是边长为J2,J2,2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0),(0,1
22、)的各有一个，共有8种情况.2的情况数为616830,进而所求概率为30—.综上可知，选出三点两两之间距离不超过22xy解：二次曲线方程可写成2a0,故二次曲线为双曲线，其标准方程为aa2y(.,a)2(a)22223a)2(a)2aa,注意到焦距2c4,可知aa4,又a0,117所以a28414201720,对于每个这样的正整数b,由10ba201知,解：由条件知c[-----------]2,当c1时，有10b10008.答案：57420(1022)11相应的a的个数为20210b,从而这样的正整数组的个数为(20210b)572,b102—-,2017.一
