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1、函数的导数及导数的应用 求函数的导数有两种方法：一种方法是用定义求，先求函数的改变量，再求平均变化率，最后取极限，得导数；另一种方法是利用公式与法则求导数.利用函数的导数研究函数的性质：先对函数求导，再利用导数y＇的正负判断函数的单调性或求函数的极值（或最值）例1：已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=－1(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由解：⑴f′(x)=3ax2+2bx+c，∵x=±1是函数f(x)的极值点，∴x=±1是方程f′(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的两根．由根与系数的关系，得，又
2、f(1)=－1,∴a+b+c=－1,③由①②③解得a=；⑵f(x)=x3－x,∴f′(x)=x2－=(x－1)(x+1)当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0∴函数f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数．∴当x=－1时，函数取得极大值f(－1)=1；当x=1时，函数取得极小值f(1)=－1．练习1：已知f(x)=x2+c,且f［f(x)］=f(x2+1)．(1)设g(x)=f［f(x)］,求g(x)的解析式；(2)设φ(x)=g(x)－λf(x),试问：是否存在实数λ，使φ(x)在(－∞,－1)内为减函数，且在(－1，0)内是
3、增函数解：⑴由题意得f［f(x)］=f(x2+c)=(x2+c)2+cf(x2+1)=(x2+1)2+c,∵f［f(x)］=f(x2+1)，∴(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,∴x2+c=x2+1,∴c=1∴f(x)=x2+1,g(x)=f［f(x)］=f(x2+1)=(x2+1)2+1⑵φ(x)=g(x)－λf(x)=x4+(2－λ)x2+(2－λ)若满足条件的λ存在，则φ′(x)=4x3+2(2－λ)x∵函数φ(x)在(－∞,－1)上是减函数，∴当x＜－1时，φ′(x)＜0即4x3+2(2－λ)x＜0对于x∈(－∞,－1)恒成立∴2(2－λ)＞－4x2，∵x＜－1，∴－4x2＜－4，
4、∴2(2－λ)≥－4，解得λ≤4又函数φ(x)在(－1,0)上是增函数，∴当－1＜x＜0时，φ′(x)＞0即4x2+2(2－λ)x＞0对于x∈(－1,0)恒成立∴2(2－λ)＜－4x2，∵－1＜x＜0，∴－4＜4x2＜0，∴2(2－λ)≤－4，解得λ≥4故当λ=4时，φ(x)在(－∞,－1)上单调减，在(－1,0)上单调增，即满足条件的λ存在．例2：已知函数为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，1]上的最大值.解：（Ⅰ）1°a=0，，∴f(x)在(-,0)上单调减，在(0,+)上单调增；2°a<0，x(-,0)0(0,-2/a)-2/a(-2/a,+
5、)f’(x)－0＋0－f(x)单调减极小值0单调增极大值单调减∴f(x)在(-,0)上单调减，在(0,)上单调增，在(,+)上单调减；（Ⅱ）1°a[2,0]，f(x)在[0,1]上但调增，∴；2°a(-,2)，f(x)在(0,)上单调增，在(,+)上单调减，∴。练习2：求证:（Ⅰ）；（Ⅱ）．解：（Ⅰ）令，则，得x=1x(0,1)1(1,+)f’(x)＋0－f(x)单调增极大值1－a单调减∴f(x)在(0,+)有最大值，，即。（Ⅱ）记，由知x>1，要证原不等式，只需证成立；1°令，则，当x>1时，，∴g(x)在上单调增，有g(x)>g(1)=0，x>1恒成立，即；2°令，则，当x>1时，，∴h(
6、x)在上单调增，有h(x)>h(1)=0，x>1恒成立，即；综上，原不等式得证。最近几年高考函数、导数综合题选讲题1：（安徽卷，2009）已知函数．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设a=3，求f(x)在区间[1,e]上的值域，其中e=2.71828…是自然对数的底数．解：（Ⅰ）由于，令得①当，即时，恒成立，∴在上都是增函数。②当，即时，由得或∴或或又得，∴综上，当时，在上是增函数；当时，在及上是增函数，在是减函数。（2）当时，由（1）知，在[1，2]上是减函数，在[上市增函数。又，∴函数在区间[1，]上的值域为。题2：（全国卷I，2006）已知函数．（Ⅰ）设a>0，讨论y=f(x)的单调性；
7、（Ⅱ）若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1，求a的取值范围。解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得f'(x)=e－ax．(ⅰ)当a=2时,f'(x)=e－2x,f'(x)在(－∞,0),(0,1)和(1,+∞)均大于0,所以f(x)在(－∞,1),(1,+∞)为增函数；(ⅱ)当00,f(x)在(－∞,1),(1,+∞)为增函数；(ⅲ)当
