非线性规划-无约束问题(I)

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1、第三章最优化方法运筹学施鹏cpse@sohu.comsystem第三节非线性规划当要求容器的容积一定，求表面积最小，以使用料最省。x1x2s.tx1≥0，x2≥0一连续反应器如图所示，进行如下反应已知单位体积的液相反应速率为原料A的单位成本折旧、公用工程和其他费用根据预测，市场只能提供物料A600单位/h，产品B的市场需求量FB不超过50单位/h，产品B的价格为C3=2000元/单位。试确定物料A的进料速度FA0、初始浓度CA0、反应器体积V和转化率各取多大，才能使得该反应器在单位时间内的经济效益是最好的？非线性规划目标函数或约束条件中有非线性函数的规划问题非线性规划的最优解可能在其

2、可行域中的任意一点达到不一定是全局最优解背景理论计算相对于计算要求，计算能力仍十分有限背景为加快计算速度，必须明确各种方法的特点，以针对不同问题选择最合适的方法求解思路：迭代从一个选定的初始点x0出发，按照某种特定的迭代规则产生一个点列{xk}xk有穷点列：最后一个点为最优解xk无穷点列：其中一个点为最优解基本迭代格式：第k轮迭代点：第k+1轮迭代点tk：搜索步长pk：迭代方向基本概念对于存在ε>0，使则称x*为R上的局部极小点，f(x*)称为局部极小值→严格局部极小点、严格局部极小值基本概念若对于任意x，有则x*为R上的全局极小点，f(x*)为全局极小值→严格全局极小点、严格全局极

3、小值凸函数凸规划凸集：对于在集合中的每一对点x1和x2，连接两点所形成的直线段上任一点都在此集合内，则该集合为凸集凸函数凸规划凸函数如果函数满足则称f(x)为F上的凸函数若则称f(x)为严格凸函数凸函数凸规划yxox1x2γx1+(1-γ)x2y=f(x)凸函数凸函数凸规划yxox1x2γx1+(1-γ)x2y=f(x)凸函数凸规划非线性规划如f(x)和gi(x)都为凸函数，则称该规划问题为凸规划可以证明：f(x)的局部极小值也是全局最小值理想情况凸性和凹性的判定（一阶条件）若f(x)有连续的一阶导数，则f(x)为凸函数对x1、x2R，有f(x2)≥f(x1)+f(x

4、1)T(x2-x1)f(x)为严格凸函数对x1、x2R，有f(x2)＞f(x1)+f(x1)T(x2-x1)凸性和凹性的判定（二阶条件）Hessian矩阵H为对称矩阵例判断下列函数的凹凸性（xR）(a)f(x)=3x2(b)f(x)=2x(c)f(x)=5x2(d)f(x)=2x2-x3解(a)f”=6，故f(x)为（严格）凸函数。(b)f”=0，故f(x)既凸又凹(c)f”=-10，故f(x)为（严格）凹函数(d)f”=6-3x，故f(x)既不为凸也不为凹对于多元函数，如何判断H是否正定？特征值f(x)H特征值严格凸函数正定>0凸函数半正定≥0凹函数半负定≤0严格凹函数负

5、定<0例分析函数指出此函数属于哪种类型H正定，f(x)为严格凸函数无约束问题极值存在的必要条件和充分条件对于一元函数f(x)极值存在必要条件→f’(x)=0（稳定点）充分条件→f’(x)=0且f”(x)>0f’’(x)<0对n维函数必要条件：f(x)在x*处一阶可导充分条件H(x*)正定，则x*为极小值，反之为极大值例求函数的所有稳定点解解方程组得试判断所得的稳定点是否为最优解求得各点的H特征值和稳定点类型如下：稳定点f(x)特征值1.941，3.8540.985537.030.97局部极小点-1.053，1.028-0.513410.503.50（全局）极小点0.6117，1.49

6、292.83007.0-2.56鞍点主要方法一维搜索法多项式近似求导数方法Fibonacci法0.618法二次插值法三次插值法一阶导数二阶导数最速下降法共轭梯度法牛顿法拟牛顿法无约束问题一维搜索法步长tk的选定是由使目标函数值沿搜索方向下降最多为依据的，因此这一工作变成了求解以tk为变量的一元函数，故得名一维搜索法。适用于某些不能求得一阶导数解析解的问题如求最小回流比其中ij：组分i对组分j的相对挥发度xDi：塔顶产品中i组分的组成：由Underwood公式确定用经典的微分方法很难求解一维搜索法（消去法）斐波那契（Fibonacci）法（分数法）0.618法无需求导，根据函数值判

7、断搜索方向适用于求解已知极值区间的单峰函数一维搜索法（消去法）f(x2)＜f(x1)，去掉[x1,b0]，此时x*[a0,x1]f(x)xoa0b0x*x1,x2在x*的右侧x1x2一维搜索法（消去法）f(x2)＞f(x1)，去掉[a0,x2]，此时x*[x2,b0]f(x)xoa0b0x*x1,x2在x*的左侧x1x2f(x2)＝f(x1)：a.去掉[x1,b0]，此时x*[a0,x1]b.去掉[a0,x2]，此时x*[x2,b0]f(x)xoa