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1、专题2高等数学知识点解读第六章多元函数积分学第一节二重积分的概念与计算一、二重积分的概念与性质曲顶柱体的体积2．二重积分的概念3．二重积分的性质二、在直角坐标系中计算二重积分上式也可简记为②化二重积分为累次积分时,需注意以下几点：（1）累次积分的下限必须小于上限;(a)(b)1.极坐标系下的面积元素三、在极坐标系中计算二重积分(a)2.极坐标系下化二重积分为累次积分(b)第二节二重积分应用举例一、平面薄板的质量二、平面薄板的重心三、平面薄板的转动惯量第三节三重积分的概念与计算二、在直角坐标系中计算三重
2、积分一、三重积分的概念2.三重积分的计算三、在柱面坐标系中计算三重积分(a)(b)四、在球面坐标系中计算三重积分上的连续函是定义在设某物体的密度函数数当是直线段时,应用定积分就能计算得该物体的质量.现在研究当是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题.(2)近似求和：在每一个上任取一点由于(1)分割：把分成个可求长度的小曲线段第四节曲线积分一．第一类（对弧长的）曲线积分1.第一类曲线积分的定义上的连续函数,故当的弧长都很小时,每一小段的质量可近似地等于其中为小曲线段的长度.于是在整个上的
3、质量就近似地等于和式(3)当对的分割越来越细密(即)时,上述和式的极限就应是该物体的质量.由上面看到,求物质曲线段的质量,与求直线段的质量一样,也是通过“分割、近似求和、取极限”来得到的.下面给出这类积分的定义.个可求长度的小曲线段的弧长,它把定义在上的函数.对曲线做分割分成记为分割的细度为在上任取一点若有极限为平面上可求长度的曲线段,定义1设为且的值与分割的取法无关,则称此极限为上的第一类曲线积分,记作为空间可求长曲线段,若为定义在上的函数,则可类似地定义在空间曲线上的第一类曲线积分,并且记作于是前
4、面讲到的质量分布在曲线段上的物体的质量可由第一类曲线积分(1)或(2)求得.1.若,为常数,则也存在,且2.若曲线段由曲线首尾相接而成,都存在,则也存在,且3．都存在,且在则4．也存在,且5．存在,的弧长为则存在常数使得6.第一类曲线积分的几何意义为L若为坐标平面上的分段光滑曲线,上定义的连续非负函数.由第一类曲线的定义,易见以为准线,母线平行于轴的柱面上截取的部分的面积就是定理1设有光滑曲线为定义在上的连续函数,则证由弧长公式知道,上由的弧长的连续性与积分中值定理,有2．第一类曲线积分的计算所以这里
5、则有令现在证明因为复合函数连续,所以在闭区间上有界,即存在常数使对一切都有再由上连续,所以它在上一致连续,即对任给的使当时,从而所以因此当在(4)式两边取极限后,即得所要证的(3)式.上有连续的导函数时,(3)式成为再由定积分定义当曲线由方程表示,且在上有连续导函数时,(3)式成为例1设是半圆周试计算第一型曲线积分解当曲线L由方程表示,且在例2一段(图20-2),试计算第一型曲线积分解由参仿照定理1,对于空间曲线积分(2),当曲线量方程表示时,其计算公式为:例3计算其中为球面被平面所截得的圆周.解由对
6、称性知所以*例4计算其中为内摆线解由对称性知其中*例5求圆柱面被圆柱面所而内摆线的参数方程为因此包围部分的面积A.解图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分,它的面积为把平面上的位于第一象限的四分之一圆周记为,则被围柱面在第一卦限部分正是以曲线L为准线母线平行于z积分的几何意义可知它的面积为的那部分柱面.由第一型曲面轴的L的参数方程为:因此,定义,线密度为的曲线状物体对于x,y轴的转动惯量分别为注由第一类曲线积分的例6求线密度为的曲线段对于y轴的转动惯量.解和在物理中还遇到过另一种类型的曲线积分问题.
7、例如一质点受力的作用沿平面曲线从点A移动到点B,求力所作的功,见图20-2.二、第二类（对坐标的）曲线积分1．第二类曲线积分的定义为此在曲线AB内插入个分点一起把有向曲线AB分成n个有向小曲线段Mi-1Mi(i=1,2,…,n),若记小曲线设力在轴方向的投影分别为那么的弧长为则分割的细度为段Mi-1Mi又设小曲线段Mi-1Mi在轴上的投影分别为分别为点的坐标.记于是力在小曲线段Mi-1Mi上所作的功其中为小曲线段上任一点.因而力沿曲线所作的功近似地等于其中当细度时,上式右边和式的极限就应该是所求的功.
8、这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分.定义1设函数定义在平面有向可求长度曲线L:AB上.对的任一分割它把分成n个小曲线段Mi-1Mi(i=1,2,…,n),其中记个小曲线段的弧长为分割的细度又设的分点在每个小曲线段上任取一点若极限存在且与分割T与点的取法无关,则称此极限为函数沿有向曲线L上的第二类的坐标为并记曲线积分,记为或上述积分(1)也可写作或为书写简洁起见,(1)式常简写成或式可写成向量形式若L为封闭的有向曲线,则记为若记则(1)或于
