高数同济21导数的概念

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1、一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数第一节导数的概念第二章一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率切线MT的斜率两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是

2、电量增量与时间增量之比的极限变化率问题二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M点处的切线斜率说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.若上述极限不存在,在点不可导.若也称在若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就说函数就称函数在I内可导.的导数为无穷大.例1.求函数(C为常数)的导数.解:即例2.求函数解:三、由定义求

3、导数说明：对一般幂函数(为常数)例如，（以后将证明）例3.求函数的导数.解:则即类似可证得例4解特别地即例5解即原式是否可按下述方法作:例6.证明函数在x=0不可导.证:不存在,例7.设存在,求极限解:原式例8解例8四、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:例9.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分

4、别为即故在原点(0,0)有垂直切线五、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.即例10解说明：其它连续函数不存在导数举例0例如,0例如,例如,011/π－1/π在点的某个右邻域内六、单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作即(左)(左)例如,在x=0处有定义2.设函数有定义,存在,定理2.函数在点且存在简写为在点处右导数存在定理3.函数在点必右连续.(左)(左)若函数与都存在,则

5、称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间内可导,在闭区间上可导.可导的充分必要条件是且内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;思考与练习1.函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数2.设存在,则3.已知则4.若时,恒有问是否在可导?解:由题设由夹逼准则故在可导,且5.设,问a取何值时,在都存在,并求出解

6、:故时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.作业P856,9,13,14(2),16,18牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.莱布尼兹(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的

7、早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计数法,并把它与中国的八卦联系起来.备用题解:因为1.设存在,且求所以在处连续,且存在，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.2.设故