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1、1引例导数的定义导数的几何意义与物理意义可导与连续的关系求导举例第一节导数的概念(derivative)第二章导数与微分2例1直线运动的瞬时速度问题一质点作直线运动,已知路程s与时间t的试确定t0时的瞬时速度v(t0).一、引例关系这段时间内的平均速度在每个时刻的速度.解若运动是匀速的,平均速度就等于质点质点走过的路程,00tttD+®从时刻3它越近似的定义为并称之为t0时的瞬时速度v(t0).若运动是非匀速的,平均速度是这段时间内运动快慢的平均值,越小,表明t0时运动的快慢.因此,人们把t0时的速度0lim®Dt此式既是它的定义式,又指明了它的计算
2、瞬时速度是路程对时间的变化率.注方法,4处切线的斜率.已知曲线的方程确定点如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,C在点M处的切线.如图,割线的极限位置——切线位置.例2曲线在一点的切线问题5割线MN的斜率为切线MT的斜率为0limxx®6就其实际意义来说各不相同,关系上确有如下的共性:但在数量上述两例,分别属于运动学、几何学中的问题,1.在问题提法上,都是已知一个函数求y关于x在x0处的变化率.2.计算方法上,(1)当y随x均匀变化时,用除法.(2)当变化是非均匀时,需作平均变化率的极限运算:7定义函数与自平均变化率.二、导数的定义8存在,平均变
3、化率的极限:(derivative)或有导数.则称此极限值为或可用下列记号处不可导或导数不存在.当极限(1)式不存在时,就说函数f(x)在x09注：当(1)式的极限为有时也说在x0处导数是正(负)无穷大,正(负)无穷时,但这时导数不存在.10注导数定义可以写成多种形式:或特别，11关于导数的说明(1)点导数是因变量在点x0处的变化率,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.(2)如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导,就称函数f(x)在开区间I内可导.记作(3)对于任一都对应着f(x)的一个确定的导数值.这个函数叫做原来函数f(x)的导
4、函数.12注即或13例用导数表示下列极限练习14×35解解hxfhxfxfh)()(lim)(0000-+=¢®hxfhxfxfh)()(lim)(0000-+=¢®15右导数4.单侧导数左导数(leftderivative)(rightderivative)16处的可导性.此性质常用于判定分段函数在分段点如果在开区间内可导,都存在,17三、求导举例(几个基本初等函数的导数)步骤18例解即19和差化积公式：20例解即同理可得21例解即更一般地如22例解即23例解即24例解即251.几何意义即四、导数的几何意义与物理意义26特别地:))(,()(,0)
5、()1(000xfxxfyxf在点则曲线若==¢;轴的切线平行于Ox27例解得切线斜率为由导数的几何意义,所求切线方程为法线方程为即即282.物理意义路程对时间的导数为物体的瞬时速度;变速直线运动29电量对时间的导数为电流强度;为物体的线(面,体)密度.交流电路非均匀的物体质量对长度(面积,体积)的导数30该点必连续.定理如果函数则函数在五、可导与连续的关系在点x处可导,证即根据函数极限与无穷小的关系，可知所以,31如,该定理的逆定理不一定成立.注连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件.32例解33练习为了使f(x)在x0处可导,解首先函数必须在x
6、0处连续.由于故应有应如何选取a,b?34又因从而,当f(x)在x0处可导.35导数的实质:增量比的极限;导数的几何意义:切线的斜率;函数可导一定连续，但连续不一定可导;求导数最基本的方法:由定义求导数.六、小结36判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.37思考题(是非题)非可导;但不可导.38非但不可导.39作业习题2-1(86页)6；9（偶）；11；14；16；171，2，3写在书上
