高等数学9-2二重积分的计算法

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1、第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法于是在直角坐标系下可用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为若f（x，y）在有界闭区域D上可积，则积分值与区域D的分割方式及点的取法无关。一、利用直角坐标系计算二重积分设曲顶柱体的底可表示为:［X－型］积分区域其中函数、在区间上连续.1.［X－型］积分区域：则X型区域的二重积分可按如下累次积分计算同样,曲顶柱体的底可表示为［Y－型］2.［Y－型］积分区域：则Y型区域的二重积分可按如下累次积分计算X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

2、Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.化二重积分为累次积分的步骤：1.确定积分区域是X-型还是Y-型若都不是则分块2.确定积分限；3.分别进行积分。注意1若D={(x,y)

3、a≤x≤b,c≤y≤d}为矩形区域注意2如果D既是x-型区域，又是y-型区域，将二重积分化为两种不同顺序的累次积分，结果相同.但实计算时，可能影响计算的繁简，甚至于影响到能否“积出”。因此，化二重积分为累次积分时，应注意积分次序的选择。主要题型:1.改变积分顺序(给出抽象函数)2.纯计算二重积分(给出具

4、体的函数和区域)3.需要考虑积分顺序的二重积分的计算(几个常见的函数)5.空间立体体积的计算(有时和定积分结合起来)—利用二重积分的几何含义(曲顶柱体的体积)4.被积函数中带绝对值1.改变积分顺序(给出抽象函数)解积分区域如图解积分区域如图0yx2a2a例3改变积分换序aD:解0x2aD1D2D3练习:改变积分顺序2.纯计算二重积分(给出具体的函数和区域)11y=x20yxD2先对y积分（从下到上）1画出区域D图形3先对x积分（从左到右）...y=x...例5：计算例7.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,3.需要考虑积分顺序的二重积分的计算(几个常见的

5、函数)解解4.被积函数中带绝对值例10解先去掉绝对值符号，如图5.空间立体体积的计算(有时和定积分结合起来)—利用二重积分的几何含义(曲顶柱体的体积)解曲面围成的立体如图.例13求两个垂直的底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为二、利用极坐标系计算二重积分在平面上取定一点O，由O出发引一条射线Ox，并取定一个长度单位和计算角度的正方向（逆时针方向），合称为一个极坐标系。这样，平面上任一点M的位置就可以用OM的长度r和从Ox到OM的角度来刻划，称为M在这个极坐标系中的极坐标，O点称为极坐标系的

6、极点，Ox称为极轴。xrMO二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征:积分域在极点外区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征:积分域的边界过极点极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征:极点在积分域内0yx2a..解例1.此题用直角系算麻烦，需使用极坐标系！21D0yxD:变换到极坐标系..例2计算2R区域边界：x=0.0yx即r=2Rsinr=2Rsin例3.0yx12y=xD...例4解例5.a-a0y0x练习解xy0例12解解.xy01D作业P951(2),(4);2(1),(4);5;6(4)(5);8；9；11

7、(2),(3);13(3),(4);14(2),(3);15(1),(4)；17