高等数学下10.2二重积分的计算法

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1、§2.二重积分的计算法一、直角坐标系下二重积分的计算1()x、2(x)在区间[a,b]上连续.设积分区域可表示为：axb,1(x)y2(x).y(x)2y(x)［2DX－型］Dy(x)1y(x)1ababX型区域的特点：平行于y轴的直线穿过区域内部与区域边界相交不多于两个交点.一、直角坐标系下二重积分的计算(y)x(y).如果积分区域为：cyd,12［Y－型］ddx(y)x(y)11DDx(y)2x(y)2ccY型区域的特点平行于x轴的直线

2、穿过区域内部与区域边界相交不多于两个交点.yy121、区域是X又Y型2、区域非X非Y型oxxo直角坐标系下二重积分的计算区域是X又Y型y(x)2y(x)2yD［X－型］Dy(x)1y(x)1oxabab区域非X非Y型［Y－型］ddyx(y)x(y)11DDx(y)2x(y)2ccxo二重积分几何意义：fxy(,)d曲顶柱体的体积DS:z=f(x,y)z元素法元素法1任意分割区域D,化整为零2以平代曲VVf(x,y)iiiin3积零为整Vf(xi,yi

3、)ii14取极限令分法无限变细0nV=limf(x,y)Δσyiiii1.记f(x,y)dD.x一、直角坐标系下二重积分的计算fxy(,)d复习平行截面面积为已知的立体的体积D已知平行截面面积为A(x)的立体dV=A(x)dxbVAxx()daA(x)Vaxbx返回原页一、直角坐标系下二重积分的计算z二重积分的计算（D是曲线梯形区域）z=f(x,y)If(x,y)dxdyDD:(y)x(y)cydcyd0yx=(y)Dx=(y)x一、直角坐标系下二重积

4、分的计算zf(x,y)zIf(x,y)dxdyyy.z=f(x,y)DD:(y)x(y)cydψ()yQ(y)=f(,)dxyxcyy+dydφ()y0ydx=(y)I=Qyy()dcX+dxQ(y)x.Db.x=(y)Sf()dxxxa问题：Q(y)是什么图形？是曲边梯形!b平行截面面积为已知的立体的体积VAxx()da二重积分的计算（D是曲线梯形区域）zIf(x,y)dxdyz=f(x,y)DD:(y)x(y)cydQ(y)=()ψy

5、cyd0f(,)dxyxy()φyx=(y)dI=Q(y)dycD..x=(y)xd()ydyf(,)dxyxc)(y一、直角坐标系下二重积分的计算二重积分计算的两种积分顺序If(x,y)dxdyDD:x1(y)xx2(y)zzyf(xy,y)cyd.z=f(x,y)ydyx1(y)x2(y)cyd0Dycx=(y)X+dxQ(y)x0.xDxx=(y)xy()2I=f(,)dxyxxy()1一、直角坐标系下二重积分的计算If(x,y)dxdyz

6、Dz=f(x,y)D:x(y)xx(y)12cydydyx1(y)x2(y)cyd0Dcx=(y)0x.Ddx(y)x=(y)xI=dyf(x,y)dxcx(y)二重积分计算的两种积分顺序If(x,y)dxdyD［Y－型］［X－型］D:y(x)yy(x)12D:x(y)xx(y)12axbcydyyy2(x)dy+dyyx1(y)x2(y)yDDcy1(x)00xxaxb.dx(y)yx()dyf(x,y)dx2I=I=f(,)dxyycx(y)y

7、x()1二重积分计算的两种积分顺序If(x,y)dxdyD［Y－型］［X－型］D:x(y)xx(y)D:y(x)yy(x)1212cydaxbyyy2(x)dyx1(y)x2(y)DDcy1(x)00xxaxb.dx(y)y(x)I=cdyf(x,y)dxI=y(x)f(x,y)dyx(y)二重积分计算的两种积分顺序If(x,y)dxdyD［Y－型］［X－型］D:x(y)xx(y)D:y(x)yy(x)1212cydaxbyyy2(x)dyx

8、1(y)x2(y)DDcy1(x)00xxaxb.dx(y)by(x)I=dyf(x,y)dxI=dxy(x)f(x,y)dycx(y)a一、直角坐标系下二重积分的计算公式［Y－型］dx(y)fxydxdy(,)dyf(x,y)dxD:x1(y)xx2(y)Dcx(y)cyd()yd2fxydxdy(,)dyf(,)xydxDc1()yD:1(y)x2(y).［Y－型］cyd•后积先定限口诀2xy•界内