高等数学无穷级数(VI)

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1、第11章无穷级数常数项级数的概念和性质常数项级数的审敛法幂级数函数展开成幂级数函数的幂级数展开式的应用傅立叶(Fourier)级数为什么要研究无穷级数是进行数值计算的有效工具.自然科学和工程技术中,无穷级数是数和函数的一种表现形式.因无穷级数中包含有许多非初等函数,故它在积分运算和微分方程求解时,如谐波分析等.分析问题,常用无穷以及级数来?11.1常数项级数的概念和性质常数项级数的概念收敛级数的基本性质小结一、常数项级数的概念定义一般项如无穷级数定义式的含义是什么?按通常的加法运算一项一项的加下去,没有穷尽，如何计算？部分和定义级数收敛与发散定义：即存在(不

2、存在)常数项级数收敛(发散).对收敛级数，为级数(1)的余项或余和.显然有当n充分大时,级数的敛散性与它部分和数列是否有极限是等价的.称差误差为例而所以,的部分和.级数级数发散.解解(重要)例讨论等比级数(几何级数)的收敛性.发散发散级数变为收敛发散综上讨论级数的敛散性.解例因为为公比的等比级数,是以因级数收敛.所以讨论级数的敛散性.解例因为为公比的等比级数,是以故级数收敛.发散.级数的部分和分别为则于是证性质1设常数则有相同的敛散性.二、收敛级数的基本性质也不存在极限.所以,有相同的敛散性.级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:性质2设有两个

3、级数证极限的性质级数的部分和收敛级数可以逐项相加与逐项相减.结论:例都收敛两个级数发散.收敛,发散,均发散,敛散性不确定.注都发散.但收敛.例性质3添加或去掉有限项不影响一个级数性质4设级数收敛,加括号所得原级数的和.级数的和一般会改变.新级数仍收敛于则对其各项任意的敛散性.注①一个级数加括号后所得新级数发散,事实上,的级数就应该收敛了.设级数收敛,根据性质4收敛发散②一个级数加括号后收敛,性不定.则原级数发散.加括后原级数敛散注证因为则所以定理性质5(级数收敛的必要条件)若级数收敛,则①级数收敛的必要条件,③必要条件不充分.数发散;如调和级数②可用它求或验

4、证极限为“0”的极限;级数收敛的必要条件:但级数是否收敛？常用来判别级注敛散性.例讨论调和级数解反设解由于发散判别级数的敛散性.例用级数收敛的必要条件判别级数发散.解而级数所以级数发散.由性质2知,由性质1知,发散.因调和级数发散,为公比的等比级数,是以收敛.例判别级数敛散性.常数项级数的基本概念基本审敛法3.按基本性质则级数收敛由定义,2.则级数发散级数收敛的必要条件记住等比级数(几何级数)的收敛性1.三、小结练习为收敛级数,a为非零常数,试判别级数的敛散性.解因为收敛,故从而故级数发散.级数收敛的必要条件:解练习