高等数学无穷级数(II)

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1、一、函数展开为幂级数二、函数展开为幂级数的应用举例第四节函数展开为幂级数如何将函数表示为幂级数?怎么做？一、函数展开为幂级数1、泰勒级数将函数展开为幂级数的问题是否就是将函数展开为泰勒级数的问题?一个幂级数在其收敛区间内代表一个函数,即它的和函数:任意一个函数能否在某一个区间内表示为某一个幂级数的形式呢?即是否有问题定理证由定理的条件可知,且其和函数于是有由数学归纳法,得该定理说明,幂级数的和函数,则该幂级数一定是下列形式:定理和定义给我们提供了什么信息?定义定理和定义告诉我们：处有任意阶导数,则它就有一个相

2、应的泰勒级数存在.但此泰勒级数不一定收敛,即算收敛,其和函数也不一定等于就是说,函数与它的泰勒级数间划等号是有条件的.内可表示为幂级数的形式,则该幂级数一定是函数f(x)的泰勒级数.问题回忆泰勒中值定理的构建过程由级数的部分和及收敛性质看出一点什么没有?定理证余下的工作由学生自己完成.推论证（提示）自己做!马克劳林级数就可写出它的泰勒级数.但它的泰勒级数不一定收敛,只有当拉格朗日余项时,泰勒级数才收敛于一个函数如果能够展开为幂级数形式,则该幂级数一定是它的泰勒级数,且这种展开是唯一的.即使收敛,其和函数2、函

3、数展开为幂级数函数展开为幂级数直接展开法间接展开法该方法是先求出函数写出它的泰勒级数,然后,判断泰勒公式中的拉格朗日余项是否满足确定级数的收敛区间.直接展开法例1解例2解从一些已知函数的泰勒展开式出发,利用幂级数的四则运算和解析运算性质,以及进行适当的变量代换来求出另外一些函数的泰勒公式的方法,称为间接展开法.间接展开法例3解利用变量代换例4解等比级数的和例5解可利用它对某些数值或定积分值等进行近似计算二、函数幂级数展开式的应用举例计算的近似值,精确到例1解计算的近似值,使准确到故令得于是有例2解在上述展开式

4、中取前四项,说明在展开式中,令得据此递推公式可求出任意正整数的对数.如(n为自然数),利用求误差.先把角度化为弧度(弧度)误差不超过的近似值,并估计例3解(取计算积分的近似值,精确到例4解则n应满足则所求积分近似值为欲使截断误差计算积分的近似值,精确到由于故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在x=0处的值为1,则它在积分区间上连续,且有幂级数展开式:例5解