高等数学方明亮版课件13函数的极限

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1、第三节函数的极限(LimitsofFunctions)第一章在前一节我们讨论了数列的极限，本节主要介绍一般函数的极限以及其性质．二、函数极限的性质一、函数极限的定义8/26/20211一、函数极限的定义8/26/202121.自变量趋于无穷大时函数的极限(LimitsInvolvingInfinity)8/26/202138/26/20214定义1可简单地表达为：几何解释:补充定义直线y=A为曲线的水平渐近线8/26/20215直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.当时,有当时,有几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，两种特殊情况:8/26/20216证:例1证

2、明取因此就有故欲使即注:是的水平渐近线.8/26/202172.自变量趋于有限值时函数的极限.(LimitsInvolvingFinites)8/26/20218（1）双侧极限(Two-sidedLimits)8/26/20219当时,有8/26/2021108/26/202111例2证明证:欲使只要取则当时,必有因此8/26/202112证:例3证明函数在点x=3处没有定义.故取当时,必有因此8/26/202113证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有例4证明:当8/26/202114（2）单侧极限(One-sidedLimits)左极限(LeftLimits):

3、当时,有右极限(RightLimits):当时,有定理18/26/202115证：利用定理1，知8/26/202116讨论时的极限是否存在.解:利用定理1.因为显然所以不存在.例6（补充题）设函数8/26/202117二、函数极限的性质定理2(函数极限的唯一性）定理3(函数极限的局部有界性)证：8/26/202118若且A>0,证:已知即当时,有当A>0时,取正数则在对应的邻域上(<0)则存在(A<0)定理4（函数极限的局部保号性）8/26/202119若取则在对应的邻域上若则存在使当时,有（书中定理5）分析:推论18/26/202120证:用反证法.则由定理1,的某去心邻域

4、,使在该邻域内与已知所以假设不真,(同样可证的情形)存在假设A<0,条件矛盾,故8/26/202121定理5海因定理（函数极限与数列极限的关系)条件：（1）（2）结论：（1）（2）8/26/202122内容小结1.函数极限的或定义及应用2.函数极限的性质:与左右极限等价定理；Th1唯一性定理；Th2局部有界性；Th3函数极限的局部保号性；Th4海因定理（函数极限与数列极限的关系)Th58/26/202123课后练习习题1-3156思考与练习1.若极限存在,例3是否一定有？不能保证例有8/26/202124解：4.设函数且存在,则8/26/202125