高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限.ppt

《高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二节数列的极限(LimitsofSequences)第一章极限方法是高等数学中的一种基本方法．本节主要介绍数列极限的概念以及收敛数列的性质．二、收敛数列的性质一、数列极限的定义7/27/20211一、数列极限的定义1.数列(Sequenceofnumber)7/27/202127/27/202132.数列极限的定义我们先来观察数列当n无限增大时，即时的变化趋势.图形演示7/27/20214图形演示时，的变化趋势.数列当7/27/20215通过上面演示实验的观察知:7/27/202167/27/202177/27/202187/27/20219证明数

2、列的极限为C.证:例1已知对一切自然数n，成立所以,（常数），数列的极限为C.注1:常数列的极限等于同一常数．注2:7/27/202110证:例2证明欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取7/27/202111例3证:则(由例1）则欲使只要即亦即因此,取,则当n>N时,就有故7/27/202112二、收敛数列的性质1.收敛数列的极限唯一.(Uniqueness)证由定义,（1）（2）故所以收敛数列的极限是唯一的.7/27/202113是发散的.证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a存在.取则存在N

3、,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N时,有因此该数列发散.例4证明数列7/27/2021142.收敛数列一定有界.(Roundedness)证:设取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.有说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.数列7/27/202115若且时,有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)3.收敛数列的保号性.(Sign-preservingProperty)7/27/202116*********************证:设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取

4、正整数K,使于是当时,有从而有由此证明*********************4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.7/27/202117说明:例如，发散!思考7/27/202118内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限课后练习习题1-212（2）3～67/27/202119思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.解:7/27/202120证:07/27/202121