分类计数原理、分步计数原理

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1、学科：数学教学内容：分类计数原理、分步计数原理 【学习目标】掌握分类计数原理及分步计数原理，并能运用这两个原理分析和解决一些简单的问题． 【高考试题剖析】1．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（　　）A．12对　　　　　　B．24对　　　　　　C．36对　　　　　　D．48对【解析】根据六棱锥和异面直线的意义，异面直线对数有＝24．【答案】B2．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法共

2、有（　　）A．5种　　　　　　B．6种　　　　　　　C．7种　　　　　　　D．8种【解析】500－3×60－2×70＝180，设用剩余的180元选购单片软件x片，盒装磁盘y盒，则60x＋70y≤180元（x，y∈N）．当x＝0时，y＝0、1、2；当x＝1时，y＝0、1；当x＝2时，y＝0；当x＝3时，y＝0．不等式共7组解，∴选购方法有7种．【答案】C3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有　　种行车路线（　　）A．24　　　　　　　B．16　　　　　　　C．12　　　　　　　　　D．10【解析】起点为种可能性，终点为种可能性，因

3、此，行车路线共有×＝12．【答案】C2的正约数（包括1和72）有_____个．【解析】72＝23×32∴2m·3n（0≤m≤3，0≤n≤2，m，n∈N）都是72的正约数．∴共4×3=12个【答案】125．用五种不同的颜色给图10—1中四个区域涂色，如果每一区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，那么涂色方法有_____种．图10—1【解析】先涂区域1有种，再涂区域2有种，再涂区域3有种，最后涂区域4有种，根据分步计数原理．【答案】240 【典型例题精讲】［例1］甲厂生产的收音机外壳形状有3种，颜色有4种，乙厂生产的收音机外壳形状有4种，颜色

4、有5种．这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有多少种不同的品种?【解】分两类：一类是甲厂生产的有3×4种，一类是乙厂生产的有4×5种，根据加法原理共有3×4＋4×5＝32种．【评述】应用这两个原理时，一定要区分事件是分类还是分步完成，对某些复杂的问题常先分类后分步，并做到层次清楚，不重不漏．【答案】32［例2］由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）?【解】要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，因0不能为首位，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，有5种选法；

5、第三步确定个位上的数字也有5种选法，根据分步计数原理，得到可以组成三位数的个数为N＝4×5×5＝100【评述】这类问题首先要明确：①＂完成一件事＂指什么?②如何完成这件事?即分步还是分类?③应用分类计数原理还是分步计数原理．【答案】100［例3］赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中挑选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，问有多少种选法？【解法一】依只会划左舷的人入选与否分类：··＋··＋··＝675；【解法二】依只会划右舷的人入选与否分类：．【答案】675［例4］甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲

6、公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁各承包2项，问共有多少种承包方式．【解】根据分步计数原理有：＝1680种【答案】1680种［例5］在直角坐标平面上的点P（a，b）满足：a≠b，a，b∈{1，2，3，4，5}，点P到原点O的距离为

7、OP

8、≥5．求这样的点P的个数．【分析】将符合要求的点P以横坐标a（或纵坐标b）作为分类标准分为六类，还可以先求

9、OP

10、<5的点的个数．【解法一】若a＝1，则b＝5或6，有2个点若a＝2，则b＝5或6，有2个点若a＝3，则b＝4或5或6，有3个点若a＝4，则b＝3或5或6，有3个点若a＝5，则b＝1或2或

11、3或4或6，有5个点若a＝6，则b＝1或2或3或4或5，有5个点所以，符合条件的点有20个．【解法二】由分步计数原理，符合a≠b的点有6×5共30个，其中

12、OP

13、<5的点有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）共10个．所以符合题意的点P有30－10＝20个． 【达标训练】1．已知A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2，b3，b4，b5}，a1必须与b1对应，则A到B可建立映射的个数为（　　）A．53　　　　　　　B．35　　　　　　　　C．52　　　

14、　　　　D．34【解析】根据映射定义，a2的象可以是b1、…、b5，a3的象可以是b1、…、b5，从而A到B可以建立5×5＝52个映射．【答案】C2．设椭圆＝1的焦点在y轴上，a∈{1，2，3，4，5}，b∈{1，2，3