初高中知识衔接第一章《二次根式与分式》

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1、初高中知识衔接第一章《二次根式与分式》【本讲教育信息】一.教学内容1、二次根式2、分式二.教学目标1、掌握二次根式与分式的基础知识2、学会做这一类题的方法3、了解与高中知识的衔接三、基础概念回顾二次根式一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式．在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。1．分母（子）有理化二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分

2、母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的

3、形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式的意义3.二次根式的性质(1)(2)(3)(4)4.二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的

4、积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．（5）海伦-秦九韶公式：，S是三角形的面积，p为。【练习】1．二次根式成立的条件是()A．B．C．D．是任意实数2．若，则的值是()A．－３B．３C．－９D．９3．计算：(1)(2)4．化简(下列的取值范围均使根式有意义)：(1)(2)(3)(4)5．化简：(1)(2)6．若，则的值为()：A．B．C．D．7．设，求代数式的值．8．已知，求代

5、数式的值．9．设，求的值．10．化简或计算：(1)(2)(3)11、综合应用：如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）答案：1．C2．A3．(1)(2)(3)(4)4．5．6．D7．8．39．10．分式1．分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：；．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式

6、的分式叫做繁分式．例1　若，求常数的值．解：∵，　　∴解得．例2　（1）试证：（其中n是正整数）；（2）计算：；（3）证明：对任意大于1的正整数n，有．（1）证明：∵，∴（其中n是正整数）成立．（2）解：由（1）可知＝．（3）证明：∵＝＝，又n≥2，且n是正整数，∴一定为正数，∴＜．例3　设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，∴e＝＜1，舍去；或e＝2．∴e＝2．【练习】1．填空题：对任意的正整数n，()；2．选择题：若，则＝　　（　　）　　（A

7、）１（B）　（C）　（D）3．正数满足，求的值．4．计算．