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《不等式：基本不等式、对勾函数、判别式解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、不等式不等式是高考必考的热点内容，考查的广度和深度是其他章节无法比拟的，任何一份高考试卷中，涉及到不等式内容的考点所占比例超过70%。一方面，考查不等式的性质、解法、证明以及实际应用；另一方面，与高中阶段的数学各个部分都存在着密切的联系。因此，对于不等式的学习，应达到多层面，多角度熟练掌握的程度。第一节基本不等式1.若a,b∈R,则a2+b2≥2ab，等号成立的条件：a=b；证明：当a,b∈R时，(a-b)2≥0,展开后即可得到所求不等式及等号成立的条件。2.基本不等式的变形（包括2个方面）①若a,b≥0的实数，则a+b≥2ab,等号成立的条件：a=b；若a,b∈R,ab>0
2、则ba+ab≥2,等号成立的条件：a=b；若x∈R,x>0则x+1x≥2,等号成立的条件：x=1；(上述3个不等式，考虑如何证明？)注：上述的a,b不能仅仅理解为两个参数，它可以是表达式或函数的解析式。②若a,b∈R,则a2+b2≥(a+b)22≥2ab;等号成立的条件：a=b（注意：不等式的右边是(a+b)2）例题1.已知x,y∈0,+∞,且4x+3y=1，求x+y的最小值及xy的最小值。解：x+y=x+y4x+3y=7+4yx+3xy≥7+24yx×3xy=7+43，∴x+y的最小值为：7+43；求(xy)min有两种方法，其一是配式，1xy=112×4x×3y≤112(
3、4x+3y2)2=148，∴(xy)max=48；另一种方法是，由4x+3y=1→xy=4y+3x≥23x×4y=43xy,∵x,y∈0,+∞→xy≥43，∴(xy)min=48。例题2.已知a1-b2+b1-a2=1,求证：a2+b2=1。证明：由基本不等式得：a1-b2≤a2+(1-b2)22=a2+1-b22这里等号成立的条件是，a=1-b2；同理，b1-a2≤b2+1-a22这里等号成立的条件是，b=1-a2，∴a1-b2+b1-a2≤1(*)而条件是a1-b2+b1-a2=1,即对于不等式(*)等号成立，即b=1-a2且a=1-b2即a2+b2=1。注：本题把等号成
4、立的条件，作为求证的目标，比较新颖。例题3.已知x,y∈R,满足x+y=1,求(x+1x)2+(y+1y)2的最小值。解：(x+1x)2+(y+1y)2=x2+y2+x2+y2x2y2+4=x2+y21+1x2y2+4,这里x2+y2≥(x+y)22=12,xy≤(x+y)24=14→1x2y2≥16∴(x+1x)2+(y+1y)2≥121+16+4=252.注：解答本题的关键是，如何运用好x+y=1，两次使用了基本不等式，但不矛盾。例题4.求y=x+3-x的最大值。解：函数的定义域为x∈[0,3],可以用其它的方法来解，比如用两边平方转化成二次函数求极值等。但由于x与3-x
5、的两式平方和为常数3，故应用基本不等式的变形公式简单些。∵(x+3-x)2≤2(x)2+(3-x)2=6∴x+3-x≤6，当且仅当x=3-x→x=32∈[0,3]时成立，故ymax=6。9例题5.已知a>b>0,则a2+16b(a-b)的最小值为（）。解：a2+16b(a-b)≥a2+16(b+a-b2)2=a2+64a2≥16,当且仅当a=22,b=2等号成立，a2+16b(a-b)的最小值为16.注：这里要求2元表达式的a2+16b(a-b)的最值，不能直接整体应用基本不等式（即不能直接整体消去a、b）而且也没有给出条件等式（即不可能代入消元）,因此，对局部b(a-b)用
6、基本不等式的变形公式进行处理。例题6.若二次函数fx=ax2-4x+c的值域为[0,+∞),则ca2+4+ac2+4的最小值为（）。解：由题意得a>0,Δ=16-4ac=0,即ac=4,c>0,则ca2+4+ac2+4=ca2+ac+ac2+ac=a2+c2ac(a+c)≥(a+c)22ac(a+c)=a+c2ac≥1ac=12，当且仅当a=c=2时，等号成立，所以ca2+4+ac2+4的最小值为12。注：本题也可用消元法，由Δ=16-4ac=0消去a或c，比较麻烦。例题7.已知a,b,c>0,且a2+2ab+2ac+4bc=9,则a+b+c的最小值为3。例题8.已知a,b,
7、c>0,且a+b+c=1，则3a+1+3b+1+3c+1的最大值为（）。解：(3a+1+3b+1+3c+1)2=6+23a+13b+1+23b+13c+1+23c+13a+1≤6+23a+1+3b+1+3c+1=18,当且仅当a=b=c=13等号成立，∴所求的最大值为18。例题9.已知函数fx=(xa-1)2+(bx-1)2的定义域是[a,b],其中a,b∈R+且a
